13.3 與路徑無(wú)關(guān), 勢(shì)函數(shù)與保守場(chǎng)

Path Independence, Potential Functions, and Conservative Fields

路徑無(wú)關(guān)性

在有些場(chǎng)中(引力場(chǎng)和電場(chǎng)), 移動(dòng)一物體(如電荷)在開(kāi)區(qū)域 D 內(nèi)從 A 到 B 所要做的功僅依賴物體移動(dòng)的起始點(diǎn)和終點(diǎn), 不依賴這兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑. 對(duì)于這樣情況就成積分 ∫F?dr 在 D 內(nèi)是路徑無(wú)關(guān)的, 并稱 F 在 D 上是保守的. 

觀察下面的動(dòng)畫(huà)在 F = (2x+y, x-y) 的場(chǎng)中, 沿著在兩點(diǎn)間 3 種不同的路徑做功總是相等結(jié)果 -8. 

在保守場(chǎng)(Conservative Field)中的線積分將會(huì)與路徑無(wú)關(guān), 只與起始點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān).

一旦為場(chǎng) F 找到一個(gè)勢(shì)函數(shù) f, 那么就可以方便地算出兩點(diǎn)間做功的積分了.

保守場(chǎng)的線積分

線積分的基本定理(Fundamental Theorem for Line Integrals) 為計(jì)算保守場(chǎng)中的線積分提供了一種方便的方式: