平面曲線弧長(zhǎng)是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容，它的推導(dǎo)很簡(jiǎn)單，黎曼和加上你已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就可以理解，今天我們從切線的角度出發(fā)來(lái)分析下

首先回憶下教材的內(nèi)容

假定f的圖形以(a,c)為起點(diǎn)，以(b,d)為終點(diǎn)，把它表示成如下圖的分割區(qū)間，以至于在其上的曲線弧近似是直的。

逼近子區(qū)間上方的曲線弧的線段的長(zhǎng)度是

逼近整個(gè)曲線的長(zhǎng)度是，

嚴(yán)格的說(shuō)要用對(duì)每個(gè)子區(qū)間上對(duì)于f應(yīng)用中值定理，就把這個(gè)和改寫成為黎曼和（伙伴們你理解這句話是要表達(dá)什么意思嗎？為什么這里會(huì)用到中值定理呢？）可以留言討論

嚴(yán)格的說(shuō)要用對(duì)每個(gè)子區(qū)間上對(duì)于f應(yīng)用中值定理，就把這個(gè)和改寫成為黎曼和（伙伴們你理解這句話是要表達(dá)什么意思嗎？為什么這里會(huì)用到中值定理呢？）可以留言討論

以上只是教材上的基本闡述，大家都很熟悉，下面我們用切線鰭導(dǎo)出曲線弧長(zhǎng)公式

假定f在(a,b)上式光滑的，以通常方式分割區(qū)間(a,b)，在光滑曲線每個(gè)點(diǎn)做切線鰭

很明顯，在區(qū)間上第k個(gè)切線鰭的長(zhǎng)度等于

很明顯上述是區(qū)間上的切線長(zhǎng)度

在黎曼和的情況下就得到整體的曲線弧長(zhǎng)