重采樣常用于音頻處理。在用麥克風(fēng)對音頻進(jìn)行采集的時候，常見的采樣率有8k（電話）、44.1k（CD）、48k（視頻音軌）、96k/192k（Hi-Res），而某些系統(tǒng)會有默認(rèn)固定的輸出采樣率（如Android的默認(rèn)輸出采樣率為44.1k），此時就需要對輸入音頻數(shù)據(jù)進(jìn)行重采樣。

x[n]=xc(nT)

重采樣的目標(biāo)序列為x′[n]

x′[n]=xc(nT′)

如何通過x[n]得到x′[n]就是本文的討論內(nèi)容。

本文假設(shè)以采樣周期為T對xc(t)進(jìn)行采樣滿足奈奎斯特采樣定律。

減小采樣率的過程被稱為減采樣，這一小節(jié)討論的是按整數(shù)倍減小采樣率。

按照我們一般的思維來說，按整數(shù)倍（倍數(shù)為M）減少采樣率應(yīng)該是直接對源樣本序列每隔M個樣本提取一個值

這種提取方法被稱為采樣率壓縮器，簡稱壓縮器（compressor）?？梢钥吹剿玫男滦蛄惺窃歼B續(xù)信號的一部分，并且新序列的采樣周期為Td=MT。對于該新序列，我們可以分為兩種情況進(jìn)行討論：

Td符合奈奎斯特采樣定理，即新序列能通過一個低通濾波器還原為原始的連續(xù)信號

Td不符合奈奎斯特采樣定理，即新序列發(fā)生混疊，無法還原為原始的連續(xù)信號

如下圖假設(shè)信號在M=2時恰好滿足奈奎斯特采樣定理，那么在M=3時則會發(fā)生混疊

如果在采用了壓縮率為M的壓縮器后，離散時間信號處理序列仍然符合奈奎斯特采樣定理，我們可以直接進(jìn)行使用xd[n]=x[Mn]來得到減采樣序列。而發(fā)生混疊的情況則稍微復(fù)雜一點(diǎn)。觀察混疊的頻譜，可以發(fā)現(xiàn)只有低頻部分保持了與原始信號頻譜的一致性，而相當(dāng)多的高頻由于混疊而失去了原始頻譜。

頻譜丟失得越多說明信號的失真越大，因此為了減少失真，需要盡可能保留更多的原始信號頻譜。我們可以先對元素信號進(jìn)行低通濾波，然后再對濾波后的信號進(jìn)行周期為MT的采樣即可得到失真更少的序列。按照這種思想，采樣周期固定為MT，如果一個被采樣信號的采樣周期為MT，那么采樣后不會混疊的條件就是該信號的截至頻率為πMT，因此低通濾波的截至頻率為πMT。

很明顯，先低通濾波后采樣的這種方法能最大限度地減低頻譜的丟失，從而降低信號失真。

其中X~d(jΩ)就是對原始信號進(jìn)行低通濾波后的信號x~d(t)的傅里葉變換，低通濾波器的傅里葉變換為HM(jΩ)。不過我們手中的并不是原始信號xc(t)，而是序列x[n]，為了進(jìn)入上述流程，我們需要先用x[n]重構(gòu)出xc(t)，才能進(jìn)行低通濾波以及后續(xù)采集

x~d(t)=F?1X~d(jΩ)=F?1{Xc(jΩ)HM(jΩ)}=F?1{X(ejΩT)Hr(jΩ)HM(jΩ)}=F?1{X(ejΩT)THM(jΩ)}???????????Hr(jΩ)HM(jΩ)={T,0,|Ω|<π/Telse={1,0,|Ω|<π/MTelse=F?1{Xs(jΩ)THM(jΩ)}=xs(t)?[MT?hm(t)]/Mfourier convolution theorem={∑n=?∞∞x[n]δ(t?nT)}?{sin(πt/MT)πt/MT}/M=∑n=?∞∞x[n]sin[π(t?nT)/MT]π(t?nT)/MT/M

x~d[n]=x~d(nMT)=∑k=?∞∞x[k]sin[π(t?kT)/MT]π(t?kT)/MT/M∣∣∣∣t=nMT=∑k=?∞∞x[k]sin[π(nMT?kT)/MT]π(nMT?kT)/MT/M=∑k=?∞∞x[k]sin[π(nM?k)/M]π(nM?k)/M/M

如果要從連續(xù)時間系統(tǒng)來理解的話，我們可以發(fā)現(xiàn)重建的連續(xù)信號x~d(t)是由無數(shù)個x[k]分別對相應(yīng)位置的截至頻率為π/MT的sinc函數(shù)進(jìn)行加權(quán)后疊加，然后對疊加得到的信號的幅度除以M得到的。

如果要從離散時間系統(tǒng)來理解x~d[n]的構(gòu)造公式的話，可以發(fā)現(xiàn)上面公式中的sinc函數(shù)有如下規(guī)律（下二）

H(ejω)={M,0,|ω|<π/MelseH(ejω)={1,0,|ω|<π/Melse??h[n]=sin[πn/M]πn/Mh[n]=sin[πn/M]πn/M/M

可以發(fā)現(xiàn)該sinc函數(shù)是一個增益為1、截至頻率為π/M的低通濾波器，該濾波器后接因子為M的壓縮器。那么，前面的公式可以理解為：用該濾波器對x[k]進(jìn)行濾波后再用因子為M的壓縮器即可得到x~d[n]。這一過程又被稱為抽取（decimation）。

增加采樣率的過程被稱為增采樣，這一小節(jié)討論的是按整數(shù)倍增加采樣率。

假設(shè)增加采樣率的倍數(shù)為L，那么增加采樣率后的采樣周期為Ti=LT，有

不過實(shí)際上我們只有采樣周期為T的序列x[n]，因此需要先進(jìn)行xc(t)的重建，然后對xc(t)進(jìn)行周期為Ti的采樣

xi[n]=xc(nT/L)=∑k=?∞∞x[k]sin[π(t?kT)/T]π(t?kT)/T∣∣∣∣t=nT/L=∑k=?∞∞x[k]sin[π(nT/L?kT)/T]π(nT/L?kT)/T=∑k=?∞∞x[k]sin[π(n?kL)/L]π(n?kL)/L

增采樣即采樣頻率提高了，因此不會出現(xiàn)混疊的情況，即不會改變原始的連續(xù)時間信號?，F(xiàn)假設(shè)用采樣周期T對xc(t)進(jìn)行采樣恰好滿足奈奎斯特采樣定理，即有

增采樣后采樣周期為Ti=T/L，那么頻譜將有如下變化

觀察兩張圖右下角的X(ejω)以及Xi(ejω)，它們的時域表示分別就是我們的源序列x[n]與目標(biāo)序列xi[n]。從X(ejω)變?yōu)閄i(ejω)只需進(jìn)行執(zhí)行兩個步驟：

對X(ejω)的變量ω進(jìn)行倍數(shù)為L的擴(kuò)展，得到Xe(ejω)=X(ejωL)

對所得的新頻譜進(jìn)行低通濾波，濾波器的增益為L，截至頻率為πL

對第一步有如下分析：

X(ejω)?X(ejωL)?xe[n]=∑n=?∞∞x[n]e?jωn=∑k=?∞∞x[k]e?jωLk=∑n/L=?∞∞x[n/L]e?jωnn=Lk={x[n/L],0,n=0,±L,±2L???else

如下圖所示，對序列x[n]進(jìn)行步長為L的擴(kuò)展，即可得到xe[n]，這種轉(zhuǎn)換稱為擴(kuò)展器（expander）

第二步的低通濾波器的增益為L、截至頻率為π/L，即其脈沖響應(yīng)為（從前面的增采樣公式同樣也能得出該結(jié)論）

因此增采樣系統(tǒng)分解如下圖，這一過程又被稱為內(nèi)插（interpolation）。

在對序列進(jìn)行內(nèi)插時，某些情況下，我們并不用追求很準(zhǔn)確的信號還原，此時用一些簡單的濾波器即可達(dá)到不錯的效果，如常見的線性內(nèi)插、三次樣條內(nèi)插等。

hlin[n]={1?|n|/L,0,|n|?Lelsehcu[n]=???????(a+2)|n/L|3?(a+3)|n/L|2+1,a|n/L|3?5a|n/L|2+8a|n/L|?4a,0,0?|n|?LL?|n|?2Lelse

線性內(nèi)插只用到內(nèi)插的位置兩旁的兩個樣本，在圖上表示的話，就是把兩個樣本用直線連接后，該直線在對應(yīng)內(nèi)插位置上的的值就是所求的內(nèi)插值。

三次樣條內(nèi)插會用到內(nèi)插位置兩旁的四個樣本，即左右各兩個，曲線類似于對低通濾波器進(jìn)行截取后的曲線（下面取L=5,a=?0.5）。

觀察上面兩個脈沖響應(yīng)，我們能發(fā)現(xiàn)這些簡單內(nèi)插器脈沖響應(yīng)的一些規(guī)律：

長度為2KL?1，K=1,2,???，也就是說左右兩邊距離零點(diǎn)超過KL時的值為0，即h~[n]=0,|n|?KL·

KL處的值為0，h[KL]=0

既然有這些簡單但不夠準(zhǔn)確的內(nèi)插器，那么就應(yīng)該有相應(yīng)的方法來判斷這些內(nèi)插器的內(nèi)插效果。內(nèi)插效果可以通過觀察這些內(nèi)插器的頻譜來進(jìn)行分析。

對比增采樣所需要的低通濾波器跟簡單的線性內(nèi)插器頻譜，可以發(fā)現(xiàn)在頻譜的ω<πL處本應(yīng)做大小固定為L的增益，但是線性內(nèi)插在這部分有衰減，另外在ω>πL處本應(yīng)該是對原始序列頻譜進(jìn)行截?cái)啵怯捎诰€性內(nèi)插器的頻譜在ω>πL仍然有較大的能量（幅度較高），因此可見線性內(nèi)插可能不會獲得很令人滿意的內(nèi)插效果。不過如果原本的采樣頻率就遠(yuǎn)大于原始信號的截至頻率，則表明采樣所得的序列的頻譜較為集中，此時采用線性內(nèi)插則會得到較好的效果。

對比線性內(nèi)插以及三次樣條內(nèi)插，可以發(fā)現(xiàn)在ω<πL處，三次樣條的旁瓣較寬，而在ω>πL處，三次樣條的能量更?。ǚ雀停?即三次樣條更接近于低通濾波器，因此三次樣條內(nèi)插會比線性內(nèi)插的效果更好。

圖中藍(lán)色實(shí)線為線性內(nèi)插頻譜，紅色虛線為三次樣條內(nèi)插頻譜。為了更突出兩者的頻譜差異，右圖對頻譜的幅度進(jìn)行了對數(shù)運(yùn)算。

我們前面討論了減采樣以及增采樣，它們的系統(tǒng)分別被稱為抽取器與內(nèi)插器。對于非整數(shù)因子，我們可以通過先接一個內(nèi)插器，后接一個抽取器這種級聯(lián)的方式來得到該重采樣系統(tǒng)。例如，若L=100,M=101，則重采樣的周期為1.01T

由于中間兩個都是低通濾波器，因此可以合并成一個低通濾波器，取其中的最小值min(π/L,π/M)作為截至頻率，增益為L。