百年戰(zhàn)亂之后的祖沖之父子（一）

祖沖之還有一項(xiàng)極富創(chuàng)新的工作，但不大為人們所知，那就是得出圓球的體積和直徑的關(guān)系。我們前面看到，阿基米德在祖沖之以前大約六百年前就得到了這個(gè)關(guān)系，但中國對他的工作并不知曉。祖沖之用與阿基米德完全不同的辦法，得到了相同的結(jié)果。他和兒子首先設(shè)立一個(gè)定理：兩個(gè)等高的物體，如果沿著高的方向截面面積處處相等，它們必具有相同的體積。這個(gè)定理的基點(diǎn)同阿基米德切割求和的思路相同。設(shè)想有很多銅錢，把它們一個(gè)個(gè)疊加起來，可以構(gòu)成一個(gè)圓柱體。如果把它們之間的水平位置錯(cuò)開一些，也可以構(gòu)成一個(gè)螺旋體或其他什么形狀。既然每枚銅錢的體積是一定的，它們的體積的總和當(dāng)然不變。根據(jù)這個(gè)原理，他們父子倆思考一個(gè)奇怪的幾何形狀的體積，名叫“牟合方蓋”（圖15）。

所謂的牟合方蓋，就是兩個(gè)同等直徑的圓柱垂直相交而切出來的形狀，如圖15b所示。這個(gè)奇形怪狀的東西最初是劉徽想出來的。劉徽在研究《九章算術(shù)》的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)球體體積的計(jì)算公式是錯(cuò)誤的：“開立方圓球法：以16乘體積，取它的九分之一開立方，就得到直徑?！庇矛F(xiàn)代代數(shù)語言，這句話就是說，，這里d是球的直徑，V是體積。換句話說，。在《九章算術(shù)》的年代，人們習(xí)慣用數(shù)字3來近似圓周率。所以，《九章算術(shù)》給出的球體體積公式有可能是，這里r是球的半徑。但這顯然是不對的。

劉徽首先看出了問題，并設(shè)法尋找錯(cuò)誤的來源。他認(rèn)為，《九章算術(shù)》在估算球體體積的時(shí)候，采用的方法是比較球、圓柱和立方體之間的體積比例，如圖16所示。

這里，半徑為r的球體被半徑為r、高為2r的圓柱內(nèi)切（這就是阿基米德為自己的墳?zāi)顾O(shè)計(jì)的紀(jì)念碑的樣子）。立方體的邊長也是2r。劉徽說，我們不曉得前人是怎樣得到16∶9這個(gè)比例的，但可以猜猜看。從垂直于平面ABCD的方向看下去，圓柱和球體截面（都是圓）的比值是1∶1，而立方體跟圓柱的截面，一是方，一是圓，所以比值是4∶3（這里的3相當(dāng)于π）。從垂直于平面CDEF的方向看呢，圓柱和球體截面（一圓一方）的比值是4∶3，立方體和圓柱的截面（都是方形）的比例是1∶1。于是劉徽說，《九章算術(shù)》的作者可能是根據(jù)立方體和球體在兩個(gè)相互垂直方向投影的比例之積來估計(jì)球體體積的。

問題在于，上面所說的截面是球體的最大截面（半徑=r的截面）。如果沿著每個(gè)投影方向一層層地切割這個(gè)球體，你就會發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)截面的半徑都小于r。所以劉徽說，的估計(jì)是不對的。

沿著這個(gè)思路繼續(xù)下去，劉徽說，對球體體積更好的估算不是立方體，而是兩個(gè)相互垂直的圓柱相互切出來的體積，也就是圖15那個(gè)牟合方蓋。看看圖15b，它是不是很像兩把張開的方傘，一上一下緊緊扣在一起？再仔細(xì)看看，你就會發(fā)現(xiàn)，這個(gè)奇形怪狀的東西有三個(gè)特點(diǎn)：一、沿著垂直于兩根圓柱的任何一根的軸線作截面，所有的截面都是半徑為r的圓形；二、如果在兩根圓柱都垂直的方向作截面，那么所有的截面都是方形（圖15b）；三、半徑為r的球體恰好被牟合方蓋內(nèi)切（圖15c）。

根據(jù)這些性質(zhì)，劉徽說，的估計(jì)更適合于牟合方蓋；對于球體來說，利用這個(gè)比值給出的球體體積就太大了。劉徽還注意到，牟合方蓋的第二、三個(gè)特征說明，在牟合方蓋截面為方形的方向，每一個(gè)內(nèi)切的球體的圓形截面都恰好內(nèi)切于牟合方蓋的相應(yīng)的方形截面。換句話說，在任何一個(gè)截面上，圓截面與方截面的比都是。由此，劉徽推論說，牟合方蓋同內(nèi)切球體的體積比是，當(dāng)然，他用的比值是。因此，只要求出牟合方蓋的體積，球的體積就知道了?？墒牵瑒⒒諞]有算出牟合方蓋的體積來。

祖沖之父子采用下面的思路來計(jì)算牟合方蓋的體積。先把牟合方蓋圖15b切成對稱的兩半，只看上面的一半（下面的一半跟上面一模一樣；找到了一半的體積，就知道了整個(gè)的體積）。這半個(gè)牟合方蓋的底面是邊長為2r的正方形。讓我們在高出底面h的地方作一個(gè)截面，這個(gè)截面也是一個(gè)正方形，邊長我們不知道，但可以用已知的半徑r和高h(yuǎn)來表示，如圖17a所示。這里邊長的一半x、高h(yuǎn)及球體的半徑r構(gòu)成直角三角形（圖17a），所以它們之間滿足勾股定理，換句話說，。因此，牟合方蓋在高度為h的地方，其正方形截面的面積是。而以x為半徑的圓的面積是，所以在高為h的截面上，圓與正方形面積的比值是。

下一步，祖氏父子選擇了半個(gè)立方體，這半個(gè)立方體的底面的邊長為2r，高為r（圖17b）。從這半個(gè)立方體頂端的四個(gè)角向底面的中心點(diǎn)作直線，得到一個(gè)頭朝下的“金字塔”，也就是底面為正方形的錐體。現(xiàn)在設(shè)想從這半個(gè)立方體內(nèi)挖除“金字塔”，祖沖之父子要計(jì)算半個(gè)立方體內(nèi)剩下的體積。利用跟前面半個(gè)牟合方蓋同樣的方法，考慮距離地面高為h處的截面。那里的面積是。這里，y是挖去的倒立金字塔在高度h處邊長的一半。我們知道，金字塔的高是r，底面的邊長是2r。因此y=h。那么，對于我們的半個(gè)立方體來說，在高h(yuǎn)處挖去的正方形的面積是。也就是說，在高h(yuǎn)處，剩下的面積是。所以，在任何高度h上，牟合方蓋的截面面積（圖16a）跟挖去倒立金字塔的半個(gè)立方體的截面面積（圖17b）都相等。根據(jù)他們父子提出的等截面原理，這兩個(gè)東西的體積相等。

圖17b的體積很容易求出，它等于。這就是半個(gè)牟合方蓋的體積。因此，完整的牟合方蓋的體積是。把這個(gè)結(jié)論乘以，就得到球體的體積。

“冪勢既同，則積不容異”。這個(gè)原理現(xiàn)在叫作“祖暅原理”。這個(gè)命名是根據(jù)唐朝李淳風(fēng)在《九章算術(shù)》里的注釋的記錄。我們不知道祖氏父子倆誰先想到的。其實(shí)，劉徽在得到牟合方蓋體積同球體體積比等于的時(shí)候，他的思路里也暗含了這個(gè)原理的推廣：截面處處具有同等比值的等高物體，其體積之比必與此截面之比相等。

仔細(xì)想一想你會發(fā)現(xiàn)，利用這個(gè)原理，如果把圖17a中的半個(gè)牟合方蓋換成半個(gè)球體，利用任意h高度的相應(yīng)于圖17a和17b截面的比值，就可以直接得到球體的體積而不必求助于牟合方蓋。這個(gè)問題留給讀者自己作為練習(xí)來做吧。

現(xiàn)在，讓我們回到阿基米德最為驕傲的內(nèi)切圓球的圓柱體問題。讓我們采用跟祖氏父子類似的方法，但是把圖17a的半個(gè)牟合方蓋換成半個(gè)球體，把右邊的半個(gè)立方體換成高為r的圓柱。在圓柱內(nèi)還是挖一個(gè)錐形，只不過現(xiàn)在是一個(gè)底面半徑為r的倒立圓錐。計(jì)算一下半圓內(nèi)高度h處的截面面積和在同等高度h處圓柱在挖出倒立圓錐后剩下的圓環(huán)的面積。你得到什么結(jié)果（本章習(xí)題2）？想象不到吧，你明白阿基米德為什么對這個(gè)結(jié)果如此驕傲了嗎？

祖沖之研究過《九章算術(shù)》和劉徽所作的注解，給《九章算術(shù)》和劉徽的《重差》作過注解。他們父子還著有《綴術(shù)》一書，匯集了父子倆的數(shù)學(xué)研究成果?！毒Y術(shù)》在唐代被收入國子監(jiān)算學(xué)館的教本《算經(jīng)十書》，成為唐代的數(shù)學(xué)課本。當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)《綴術(shù)》需要四年的時(shí)間，可見《綴術(shù)》的艱深?！毒Y術(shù)》曾經(jīng)傳至朝鮮和日本。這本書內(nèi)容過于深奧，以至“學(xué)官莫能究其深奧，故廢而不理”。所以到北宋時(shí)這部書就已經(jīng)逸失了。人們只能通過其他文獻(xiàn)了解祖沖之的部分工作：在《隋書·律歷志》中留有一小段祖氏父子關(guān)于圓周率的工作；唐代李淳風(fēng)在《九章算術(shù)》注文中記載了他們求球體積的方法。他們還研究過“開差冪”和“開差立”問題，涉及二次方程和三次方程的求根問題。遺留下來的主要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是對圓周率的計(jì)算結(jié)果和球體體積的計(jì)算公式。

祖暅定理在西方稱為卡瓦列利原理，是意大利耶穌軍教士、比薩大學(xué)數(shù)學(xué)家卡瓦列利（Bonaventura Francesco Cavalieri，公元1598－公元1647）在1635年提出來的。這比祖氏父子晚了差不多一千二百年。不過，卡瓦列利的概念更為明確，他令人信服地論證，任何三維的物體都可以看成是無數(shù)二維平面的疊加。他也是世界上第一位以“積分”的思路來思考三次多項(xiàng)式的人，直接促進(jìn)了后來微積分學(xué)的發(fā)展。

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