三、數(shù)學(xué)物理學(xué)派——從格林到麥克思韋

分析學(xué)會(huì)一掃牛頓以后英國數(shù)學(xué)僵化、沉悶的空氣，為劍橋歷史上一個(gè)新的光輝時(shí)期揭開了序幕。然而學(xué)會(huì)成員們本身，他們后來的工作領(lǐng)域大都離開了分析：巴貝奇(Charles Babbage)長期為設(shè)計(jì)制造他的計(jì)算機(jī)而奔忙，赫歇爾(William Herschel)成了天文學(xué)家，皮考克(G. Peacock)也許是同數(shù)學(xué)保持了最密切關(guān)系的一位，但他的興趣轉(zhuǎn)移到代數(shù)方面。沿著分析學(xué)會(huì)開辟的道路前進(jìn)，在分析 領(lǐng)域中攀上新的高峰而使劍橋數(shù)學(xué)威名重振的任務(wù)，是由劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派來擔(dān)當(dāng)?shù)模?而其中一位承前啟后、繼往開來的人物，就是喬治·格林(George Green) 。

圖1 牛頓

（一）喬治·格林(1793-1841)

格林是一位自學(xué)成材的的數(shù)學(xué)家，他的父親是諾丁漢市的磨坊主。格林很早就在父親的磨坊里做工，他的數(shù)學(xué)知識(shí)幾乎全是通過業(yè)余閱讀得來的。法國數(shù)學(xué)書此時(shí)已不再像過去那樣難得。格林把磨坊頂樓當(dāng)作自己的書齋，攻讀從市里的一個(gè)叫勃隆利的圖書館借來的拉普拉斯、拉格朗日等人的名著，并于1828年寫成了他的第一篇也是最重要的一篇論文——《數(shù)學(xué)分析在電磁理論中的應(yīng)用》。當(dāng)時(shí)是他的朋友們集資幫他印發(fā)了這篇論文，訂閱者中有一位恰好是早年分析學(xué)會(huì)的發(fā)起人之一勃隆海德。勃隆海德也是諾丁漢市的地方貴族，他認(rèn)識(shí)到格林的才能，鼓勵(lì)格林進(jìn)一步鉆研，并向劍橋大學(xué)推薦了格林。這樣，1833年，格林在四十歲進(jìn)了劍橋?qū)S爾凱斯學(xué)院，四年后獲碩士學(xué)位。

圖2 格林

在劍橋期間，格林相繼發(fā)表了一系列重要論文。他的工作的主要特色，是尋求解決物理問題的一般數(shù)學(xué)方法，這也正是后來劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派的特征。格林最重要的貢獻(xiàn)是他的位勢理論。拉普拉斯在引力計(jì)算、泊松在電磁問題中都曾用到過這樣的函數(shù)V，它與力場分量(X, Y, Z)有關(guān)系：

拉普拉斯指出函數(shù)V滿足方程

并采用球調(diào)和方法來解方程(1)。但拉普拉斯和泊松的方法都只適用于特殊的幾何形體。格林認(rèn)識(shí)到函數(shù)V的重要性，首先賦予它“位勢”(Potential)的名稱。格林發(fā)展了函數(shù)V的一般理論，特別是建立了許多對(duì)于推動(dòng)位勢論的進(jìn)一步發(fā)展極為關(guān)鍵的定理與概念，其中以格林公式

和作為一種帶奇性的特殊位勢的格林函數(shù)的概念影響最為深遠(yuǎn)?！?/span>7〕這樣，格林同高斯一起成為現(xiàn)代位勢理論的創(chuàng)始人。然而，格林作為劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派的開山祖師，他的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)不止此。格林短促的一生共發(fā)表過10篇數(shù)學(xué)論文。這些原始著作數(shù)量不大，卻包含了許多對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)來說極其寶貴的思想，它們的意義和影響，還大大有待于探討。

圖3 光的反射和折射

以格林關(guān)于光的折射與反射理論的論文為例。光的波動(dòng)的數(shù)學(xué)描述，在十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家中始終是一個(gè)時(shí)髦的課題。在格林的時(shí)代,科學(xué)界所持的一種普遍的意見是把光看作彈性固體以太的振動(dòng)?？挛髟诠庖蕴难芯恐胁捎昧艘晕c排斥形式相互作用的數(shù)學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械模型。格林對(duì)于柯西和其他學(xué)者對(duì)以太中力的性質(zhì)作特殊假設(shè)的作法持批判態(tài)度，他的論文開門見山，有如下一段深刻的論述：“我們對(duì)于發(fā)光以太元之間相互作用的方式知道得如此少，因而最可靠的辦法還是以某種一般的物理原理作為推理的基礎(chǔ)，而不要去假定特殊的模式?！?/span>

格林提出作為“推理基礎(chǔ)”的一般原理是什么呢？他表述如下：“任一物質(zhì)系統(tǒng)的元素間不論以何種方式相互作用，若以所有的內(nèi)力分別乘以相應(yīng)的方向元，則對(duì)該物質(zhì)系統(tǒng)的任一指定部分，此乘積之總和將永遠(yuǎn)等于某函數(shù)的恰當(dāng)微分?！边@實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于能量守恒原理。格林是第一個(gè)將這種一般形式的守恒原理引入彈性力學(xué)的學(xué)者。他由此出發(fā)推導(dǎo)了描述光媒質(zhì)振動(dòng)規(guī)律的偏微分方程。在格林寫成他的光學(xué)論文時(shí)，法拉第的電磁感應(yīng)還剛發(fā)現(xiàn)不久，格林關(guān)于光波動(dòng)的數(shù)學(xué)研究還不具備突破舊的機(jī)械以太觀的條件，但他選擇一般數(shù)學(xué)原理作為推導(dǎo)光媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程的基礎(chǔ)而避免對(duì)以太的力學(xué)性質(zhì)作人為假設(shè)的作法，說明他比同時(shí)期的其他數(shù)學(xué)物理學(xué)家要高出一等。

圖4 光的波粒二象性

n維空間的概念是格拉斯曼(Grassmann)在1844年首先提出的。但在格林的著作中已經(jīng)出現(xiàn)高維幾何的思想。格林1835年發(fā)表的論文《論橢球體的引力》，率先發(fā)展了n元函數(shù)分析， 其中格林使用s個(gè)坐標(biāo){x1,x2……,xs} 來代替通常的三維歐氏坐標(biāo)，并使用S維球體和橢球來代替相應(yīng)的三維圖形。在現(xiàn)代分析中扮演重要角色的所謂狄里希萊原理，溯其源亦為格林首創(chuàng)。在上述同 一篇論文中，格林假設(shè)積分（用格林本人的記號(hào)）

存在一個(gè)極小化函數(shù)V0并指出V0滿足方程

這正是n維情形的狄里希萊原理。湯姆森(William Thomson)在1847年也闡述了同樣的原理。湯姆森的 文章發(fā)表在劉維爾(Liouville)的“數(shù)學(xué)雜志”上，因此我們就不能忽視它對(duì)歐洲大陸國家數(shù)學(xué)家的 影響。而湯姆森本人，正如我們后面將要看到的那樣，對(duì)于格林的工作是十分熟悉的。 這樣，所謂狄里希萊原理實(shí)際上應(yīng)該稱為“格林原理”。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理可以從格林著作中吸取營養(yǎng)的另一個(gè)例證是他關(guān)于水波的研究。我們 知道，一種叫孤立波的現(xiàn)象在現(xiàn)代物理的許多分支中正越來越受到重視。這現(xiàn)象最先由一位英國工程師羅素(S.Russell)所發(fā)現(xiàn)(1837)，而它的第一個(gè)非線性表述一般追溯到科特維克(D.J.Kotteweg)和代福里斯(G.Devries)合作的一篇論文(1895)。 然而，如果我們調(diào)查一下十九世紀(jì)水波方面的文獻(xiàn)，那就可以看出一條線索，說明科特維克、代福里斯的理論，乃是近一個(gè)世紀(jì)以來一系列研究的結(jié)果，而格林的工作則一馬當(dāng)先。羅素1844年第二次在不列顛科學(xué)協(xié)進(jìn)會(huì)上作淺水波問題報(bào)告時(shí)，曾埋怨數(shù)學(xué)家們未能預(yù)報(bào)他所觀測到的現(xiàn)象。但在這之前，格林已經(jīng)發(fā)表了兩篇這方面的論文，其中第一篇幾乎是同羅素的第一份報(bào)告同時(shí)發(fā)表的，格林導(dǎo)出的淺水波方程為：

上述方法同今天數(shù)學(xué)物理中廣泛使用的所謂WKB方法完全一致。格林的貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)物理史上是不可磨滅的，但他生前卻一直默默無聞。他在1839年 被選為凱斯學(xué)院的成員，但一年后就不幸病故。他的第一篇重要論文，在他去世十年以后才得以正式發(fā)表。然而，格林的工作直接啟導(dǎo)了兩位強(qiáng)有力的人物，由于他們的影響，劍橋的數(shù)學(xué)物理開始變得名聲斐然。

(二)湯姆森(1824-1907 )和斯托克斯(1819-1903 )

格林的第一篇論文因未正式發(fā)表而瀕于失傳。威廉·湯姆森(William Thomson，即后來的開爾文勛爵)在劍橋當(dāng)學(xué)生時(shí)，有一次從牟菲(Murphy)的一篇論文的文獻(xiàn)索引中知道了格林這篇文章的題目，但四處尋覓原作而不得。1845年，湯姆森從劍橋畢業(yè)，在行將離校 的前夕將此事告訴了他原先的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)老師，出乎湯姆森意料，老師細(xì)心地收藏著格林這篇著作的非正式傳本，并給了他幾本。湯姆森帶著這篇著作踏上了赴法國考察的旅途，在巴黎，他向著名數(shù)學(xué)家劉維爾(Liouville)和施圖姆(Sturm)等介紹了格林的論文，二者閱后立即意識(shí)到此文的特殊價(jià)值，認(rèn)為格林已為位勢論及其應(yīng)用奠定了完整的基礎(chǔ)。后來，在德國數(shù)學(xué)家克雷爾(Crepe)的親自贊助下，格林這篇論文終于發(fā)表在克雷爾主辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上(1850)，湯姆森并為此撰寫了介紹格林生平與工作的導(dǎo)言。

圖5 威廉·湯姆森

湯姆森本人從格林的工作中受到了重要的啟迪。早在學(xué)生時(shí)代，湯姆森就企圖尋求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)理論，以對(duì)某些不同的物理領(lǐng)域進(jìn)行統(tǒng)一的數(shù)學(xué)處理。1842年，湯姆森發(fā)現(xiàn)熱平衡問題的數(shù)學(xué)解答可以被形式地移用到靜電分布理論中去并且反之亦然。大學(xué)畢業(yè)前后，湯姆森著手考慮法拉第電磁感應(yīng)的數(shù)學(xué)描述。就在這時(shí)，他看到了格林的著作，立即意識(shí)到格林的位勢概念正是他多年尋求的普遍工具。借助于位勢論，可以從數(shù)學(xué)上有效地將某些不同的物理現(xiàn)象溝通起來，而毋需依賴那些在當(dāng)時(shí)相當(dāng)流行但在他看來卻很不可靠的特殊的物理假設(shè)（如泊松的電流體假設(shè)等），這同格林的想法是一脈相承的。湯姆森還發(fā)現(xiàn)他本人1842年關(guān)于熱平衡與靜電分布理論的數(shù)學(xué)等價(jià)性的證明，實(shí)質(zhì)上正是在將溫度分布看作位勢函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。湯姆森沿著自己這條推理路線前進(jìn)，在1847年邁出了重要的一步。這一年，湯姆森利用斯托克斯(George Gabriel Stokes)導(dǎo)出的流體力學(xué)與彈性力學(xué)方程，建立了彈性固體內(nèi)線性位移與靜電力之間以及旋轉(zhuǎn)位移與電流、磁力之間的數(shù)學(xué)等價(jià)關(guān)系。這樣，湯姆森通過數(shù)學(xué)途徑，把不同性質(zhì)的力（電和磁）與同一媒質(zhì)的內(nèi)部過程聯(lián)系起來，為從數(shù)學(xué)上表述當(dāng)時(shí)眾所矚目的法拉第的偉大發(fā)現(xiàn)指明了道路，湯姆森這方面的工作，強(qiáng)烈地影響了麥克斯韋(James Clerk Maxwell)早期的研究。

湯姆森發(fā)展了格林的位勢理論，將位勢理論的應(yīng)用范圍拓廣到電磁學(xué)、流體力學(xué)、弾性力學(xué)等許多領(lǐng)域。從數(shù)學(xué)史的角度需要特別指出的是，湯姆森利用位勢論去確立一系列物理現(xiàn)象的形式等價(jià)關(guān)系，在這過程中，他同時(shí)也確立了偏微分方程在相應(yīng)物理理論中的重要地位。湯姆森還論證了在靜電學(xué)中借助于格林位勢函數(shù)的微分表述形式相比用庫倫定律計(jì)算超錐作用力的積分形式所具有的優(yōu)越性，進(jìn)而又通過自己的工作大大擴(kuò)展了可用微分定律表述的物理問題的范圍，對(duì)于推動(dòng)偏微分方程的發(fā)展是有重要貢獻(xiàn)的。

圖6 偏微分方程舉例

格林的另一位后繼人喬治·斯托克斯(George Gabriel Stokes)，也是在劍橋?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的，比湯姆森早畢業(yè)四年。斯托克斯在劍橋也曾拜霍普金斯為師（此人就是向湯姆森提供洛林第一篇論文的那位私人教師，他后來又當(dāng)過麥克思韋的輔導(dǎo)老師，可以說是哺育劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派的無名英雄）。大概是由于霍普金斯的影響，斯托克斯熟悉了格林在劍橋發(fā)表的論文特別是關(guān)于水波理論的工作，并選擇流體力學(xué)作為自己最初的研究領(lǐng)域，而流體力學(xué)后來便成為他最擅長的分支。斯托克斯于1846年向不列顛科學(xué)協(xié)進(jìn)會(huì)提交的一份《關(guān)于流體力新發(fā)展的報(bào)吿》，使他作為英國科壇的新秀而嶄露頭角，斯托克斯在報(bào)告中多次引用了格林的著作，表現(xiàn)出他對(duì)格林的欽佩。

斯托克斯在1845年獨(dú)立導(dǎo)出了著名的粘性流體運(yùn)動(dòng)方程，接著又發(fā)展了格林的水波理論。1850年，他將其粘性流體理論應(yīng)用于擺在粘性流體中的行為，結(jié)果之一是解釋了大氣中云的形成。他還借助微分方程研究地球引力的問題，揭開了一個(gè)曾使當(dāng)時(shí)許多學(xué)者不解的謎——為什么陸地上的引力要比島嶼上小。斯托克斯在聲音與光傳播的研究中也運(yùn)用了他的流體力學(xué)方程。所有這些，使他成為運(yùn)用偏微分方程解決問題的權(quán)威，以致常有許多人在這方面請(qǐng)求他的幫助，而他不論對(duì)于團(tuán)體還是個(gè)人，總是不厭其煩，盡可能地予以答復(fù)。

湯姆森和斯托克斯是十九世紀(jì)典型的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。他們的主要目標(biāo)，是發(fā)展求解重要物理問題的有效和一般的數(shù)學(xué)方法，而他們手中的主要武器就是偏微分方程。湯姆森也許比斯托克斯更“應(yīng)用”，作為熱力學(xué)第二定律的發(fā)現(xiàn)人之一，人們往往把他看作物理 學(xué)家而忽視其在數(shù)學(xué)史上的地位。實(shí)際上，湯姆森具有強(qiáng)烈的應(yīng)用數(shù)學(xué)家的素質(zhì)。他通過自己的工作，向同時(shí)代人顯示了數(shù)學(xué)的威力。這方面最膾炙人口的一段佳話便是大西洋海底電纜的安裝。此項(xiàng)工程于1854年開始，湯姆森是領(lǐng)導(dǎo)委員會(huì)的成員。在此之前, 他已在與斯托克斯的通信中討論過長導(dǎo)線中信號(hào)延遲的數(shù)學(xué)解釋。1855年，他從理論上解決了這一問題，并據(jù)此指出橫越大西洋的海底電纜只宜使用小電流。湯姆森還為此專門設(shè)計(jì)了一種可用以測量微電流的電流計(jì)，然而負(fù)責(zé)的總工程師懷特豪斯(E.O.W. Whitehouse)卻拒絕湯姆森的意見，導(dǎo)致了安裝工作的失敗。懷特豪斯后來被迫承認(rèn)了湯姆森的數(shù)學(xué)預(yù)報(bào)的正確性。1865年，依據(jù)湯姆森的方案，第一條橫越大西洋的海底電纜終于安裝成功，轟動(dòng)了當(dāng)時(shí)的整個(gè)科學(xué)界。

圖7 斯托克斯

作為應(yīng)用數(shù)學(xué)家，湯姆森和斯托克斯有時(shí)也在解決實(shí)際問題的過程中作出純數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，甚至處理一些十分精細(xì)，往往只有純數(shù)學(xué)家才加以考慮的問題。例如，在分析的嚴(yán)格化中扮演重要角色的一致收斂性，一般主要是歸功于柯西(Augustin Louis Cauchy)和魏爾斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass)的研究。而實(shí)際上，在柯西之前，斯托克斯己在1847年一篇論周期級(jí)數(shù)的應(yīng)用性論文中提出了這一概念。此外，斯托克斯在1848-1849年間答復(fù)他人關(guān)于聲音傳播理論的問題時(shí)，引進(jìn)了媒質(zhì)中速度與密度的不連續(xù)曲面，這就是后來的沖擊波(有趣的是，當(dāng)時(shí)這一發(fā)現(xiàn)并未 獲得人們的理解，湯姆森等人提出質(zhì)疑，認(rèn)為斯托克斯的發(fā)現(xiàn)不符合能量守恒定律，以致斯托克斯又收回了自己的想法)。又如湯姆森，除了位勢理論方面的貢獻(xiàn)外，他也是所謂反演幾何的創(chuàng)始人之一。與幾何學(xué)家不同，湯姆森是通過靜電學(xué)的物理途徑提出反演思想的，他稱自己的發(fā)現(xiàn)為“電象方法”。

圖8 劍橋大學(xué)

斯托克斯與湯姆森是一對(duì)科學(xué)密友，他們有著共同的興趣，保持了終身的科學(xué)通訊，他們的個(gè)人經(jīng)歷也十分類似。兩人年輕時(shí)皆受過良好的教育。他們的工作在生前都受到了普遍的承認(rèn)，并因此而獲得了巨大的榮譽(yù)(斯托克斯于1889、湯姆森于1892年分別獲得英王的加爵，斯托克斯長期作為劍橋大學(xué)的代表出席國會(huì))。特別是倆人生前都擔(dān)任過科學(xué)與教育方面的要職，湯姆森長期任格拉斯哥大學(xué)(University of Glasgow)自然哲學(xué)教授，斯托克斯則從1847年起一直保持了劍橋盧卡辛教授的位置，而他的任職使盧卡辛教授的交椅恢復(fù)了 牛頓時(shí)代的光采。斯托克斯于1885年出任皇家學(xué)會(huì)會(huì)長，1890年后由湯姆森接替。同格林坎坷的一生相比，斯托克斯與湯姆森可以說是時(shí)代的幸運(yùn)兒，他們的科學(xué)活動(dòng)產(chǎn)生了廣泛的社會(huì)影響，特別是對(duì)新一代的青年。在這種影響下，劍橋的沃土上開放的一枝最絢麗的花朵，便是麥克思韋。

（三）克拉克·麥克思韋(1831-1879)

這樣，我們便來到了十九世紀(jì)劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派的頂峰?？死?/span>·麥克思韋(James Clerk Maxwell)出生于愛丁堡，其家庭是蘇格蘭地方望族。麥克思韋少時(shí)聰慧，十四歲發(fā)表第一篇論文，發(fā)明了一種畫卵形線的方法并討論了卵形線的幾何與光學(xué)性質(zhì)。同格林一樣，麥克思韋壽不永年，只活了48歲。然而他一生共發(fā)表了一百多篇論文及四部巨著，其中關(guān)于電磁場的數(shù)學(xué)理論，使他成為牛頓以來數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中一顆最明亮的星而名載史冊(cè)。

圖9 麥克斯韋

對(duì)麥克思韋電磁學(xué)說的歷史評(píng)述多不勝數(shù)。這里僅作數(shù)學(xué)史上的考察。麥克思韋本人曾指出，他創(chuàng)立電磁理論的主要?jiǎng)訖C(jī)乃是對(duì)十九世紀(jì)以法拉第為代表的一批物理學(xué)家們?cè)陔姶蓬I(lǐng)域中的重大發(fā)現(xiàn)作數(shù)學(xué)上的概括。我們感興趣的是這種數(shù)學(xué)綜合的具體實(shí)現(xiàn)及其在數(shù)學(xué)史上的意義。給法拉第電磁感應(yīng)論以數(shù)學(xué)表述的努力并不是始于麥克思韋。前面已經(jīng)提到，湯姆森就曾作過這種嘗試，并提出了從形式上統(tǒng)一某些不同物理領(lǐng)域的數(shù)學(xué)推理方式。麥克 思韋高度評(píng)價(jià)并且推廣了湯姆森的推理方式。

麥克思韋將電磁學(xué)中的物理量分成了兩大類——強(qiáng)度(Intensity)與通量(flux)，這種分類是“建立在對(duì)不同量作數(shù)學(xué)的或形式的類比的基礎(chǔ)之上，而不是以它們所從屬的物質(zhì)為基礎(chǔ)”。隨后的任務(wù)就是建立這兩類物理量之間的關(guān)系。麥克思韋在《電磁學(xué) 通論》中寫道：“在物理學(xué)的許多部門里，人們發(fā)現(xiàn)同一形式的方程可以被應(yīng)用于本質(zhì)上完全不同的現(xiàn)象，例如通過介質(zhì)的電感應(yīng)，通過導(dǎo)體的傳導(dǎo)以及磁感應(yīng)等。在所有這些情形中，強(qiáng)度與所產(chǎn)生的效應(yīng)之間的關(guān)系是用一組同一類型的方程來表述的，以致當(dāng)某一學(xué)科中一個(gè)問題得到解決后，該問題及其解答可以被翻譯成其它學(xué)科的語言，而以新形式出現(xiàn)的結(jié)論依然成立?！?/span>[8]麥克思韋所確立的關(guān)系主要有三條：

這里D為位移電流，可通過位勢的梯度來計(jì)算；B為磁感應(yīng)，可通過向量勢的旋度來計(jì)算；K是傳導(dǎo)電流。

圖10 麥克斯韋方程組

麥克思韋采用偏微分方程作為物理實(shí)在的自然表述，而上列通量-強(qiáng)度間的關(guān)系實(shí) 質(zhì)上就是斯托克斯關(guān)于連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)的一般運(yùn)動(dòng)的三個(gè)部分。位勢論在這里又一次扮演了關(guān)鍵的角色。正如麥克思韋本人指出的那樣：“位勢被看作是滿足一定偏微分方程的量，整個(gè)位勢理論實(shí)質(zhì)上屬于我曾稱之為法拉第方法的那種方法。”

按照麥克思韋的看法，“積分形式是超維作用的 適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表述，而偏微分方程則是描寫介質(zhì)中鄰近部分相互作用的理論的最合適的工具”。

愛因斯坦在一次紀(jì)念麥克思韋的講演中曾經(jīng)指出：“偏微分方程進(jìn)入理論物理學(xué)時(shí)是婢女，但是逐漸變成了主婦”。他認(rèn)為這是在十九世紀(jì)開始的，而麥克思韋在實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化中作出了有決定意義的貢獻(xiàn)。[9] 這不僅意味著偏微分方程在科學(xué)中的作用的實(shí) 質(zhì)性提高，而且也極大地推動(dòng)了作為數(shù)學(xué)本身的一個(gè)分支——偏微分方程論的發(fā)展。由上述可知，麥克思韋之所以能夠完成牛頓以來物理學(xué)的一次新綜合，在數(shù)學(xué)上主要是利用了十九世紀(jì)以來位勢論和偏微分方程論的成果。他的這種綜合，是從法拉第等人發(fā)現(xiàn)的物理定律出發(fā)，預(yù)報(bào)了物理學(xué)家們未能觀察到的事實(shí)，以致許多人甚至包括湯姆森在內(nèi)，雖然承認(rèn)麥克思韋的天才，卻在很長一段時(shí)間內(nèi)不能理解他的學(xué)說。

因此，只有像麥克思韋這樣具有數(shù)學(xué)頭腦的學(xué)者，才能最終完成電磁理論的數(shù)學(xué)表 述。不過作為數(shù)學(xué)家，麥克思韋卻并不恪守純粹演繹的嚴(yán)密性。在這里，讓我們來看一看十九世紀(jì)的另一位大數(shù)學(xué)家克萊茵(Felix Christian Klein)對(duì)麥克思韋科學(xué)素質(zhì)的評(píng)論[10]是很有意思的?？巳R茵寫道：“麥克思韋并不是一位邏輯上無瑕可擊的人。他的論證常常缺乏充分的說服力。他的高度發(fā)達(dá)的歸納思維勝過了他的演繹思維?！溈怂柬f出類拔萃之處，很 大程度是在于他的強(qiáng)有力的直覺，這種不時(shí)出現(xiàn)、引導(dǎo)他作出科學(xué)預(yù)見的直覺能力，是 同他的豐富的想像力并駕齊驅(qū)的”。從某種意義上說，麥克思韋正是數(shù)學(xué)史上被稱之為 “數(shù)學(xué)物理家”這樣一個(gè)群體的杰出代表。

圖11卡文迪許實(shí)驗(yàn)室

同斯托克斯、湯姆森不同，麥克思韋是一位性格恬靜、不好社交的學(xué)者，很少擔(dān)任 行政職務(wù)。他一生大部分時(shí)間是在祖?zhèn)鞯奶K格蘭莊園里埋頭研究。1865年以后，麥克思 韋甚至一度從倫敦大學(xué)國王學(xué)院辭退，隱居田莊專致寫作他的《電磁學(xué)通論》。不過，在麥克思韋一生難得從事的科學(xué)組織工作中，卻有一件特別重要的事情，就是劍橋卡文迪許實(shí)驗(yàn)室(Cavendish Laboratory)的創(chuàng)建。麥克思韋是該實(shí)驗(yàn)室的第一任主任，他的繼任人則是瑞利勛爵(John William Strutt)，后者可以說是十九世紀(jì)劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派的最后一位代表人物。今天，卡文迪許實(shí)驗(yàn)室已經(jīng)成為全世界公認(rèn)的理論物理中心之一，在這個(gè)實(shí)驗(yàn)室的陳列廊里，端放著它的創(chuàng)始人麥克思韋的塑像！

四、結(jié)束語

劍橋數(shù)學(xué)在歷史上有兩個(gè)最輝煌的時(shí)期，即牛頓時(shí)期（十七世紀(jì)）與分析學(xué)派時(shí)期。這兩個(gè)時(shí)期之間，則是一個(gè)漫長的停滯階段。牛頓以其偉大的學(xué)說影響了整個(gè)自然 科學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，卻在身后造成了英國科學(xué)的巨大真空，這個(gè)真空直到麥克思韋時(shí) 代才得到真正的填補(bǔ)。上面我們闡說了劍橋數(shù)學(xué)是怎樣從牛頓之后的停滯狀態(tài)中振興起來而煥發(fā)出新的光彩。這種振興，起先是受了外部的推動(dòng)，分析學(xué)會(huì)是促成這場變革的 的強(qiáng)力催化劑，劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派則是這場變革的光輝碩果。

新的分析方法的引進(jìn)，無疑是十九世紀(jì)劍橋數(shù)學(xué)物理發(fā)展的重要條件。但人們或許會(huì)問：為什么麥克思韋方程不是首先出現(xiàn)于此種分析方法的故土——?dú)W洲大陸呢？這就需要涉及劍橋數(shù)學(xué)本身的傳統(tǒng)。我們知道，十九世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展中，基于數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的演繹傾向占主導(dǎo)地位。該世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就——非歐幾何、群論和分析的嚴(yán)格化，都是這種傾向的產(chǎn)物，而劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派卻明顯地不屬于這一傾向。

劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派的學(xué)者，從格林到麥克思韋，他們不同于純粹數(shù)學(xué)家，主要的興 趣不在于數(shù)學(xué)的內(nèi)部矛盾，而在于根據(jù)物理的需要發(fā)展數(shù)學(xué)的新概念、新方法或新分支。他們又不同于純粹的物理學(xué)家，不是滿足于具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的解釋，而是致力于以數(shù)學(xué)家特有的思維方式去概括帶普遍性的原則與算法，從數(shù)學(xué)一般性的角度解釋現(xiàn)象，預(yù)報(bào)事實(shí)。

因此，劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派是代表著數(shù)學(xué)史上的另一種傾向——?dú)w納的或算法的傾向。 從實(shí)質(zhì)上來說，牛頓微積分之發(fā)明，正是這種算法傾向的勝利。在這一點(diǎn)上，劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派恰好繼承并發(fā)揚(yáng)了牛頓的傳統(tǒng)，所不同的是：劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派拋棄了牛頓傳統(tǒng)中僵化的方面而采用了歐洲大陸數(shù)學(xué)家所發(fā)展的分析途徑。其次，牛頓為了描寫他的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)只需要借助常微分方程，而處在向場物理飛躍時(shí)期的劍橋數(shù)學(xué)家們，卻主要依賴偏微分方程，“這些人貢獻(xiàn)于偏微分方程的解到如此一個(gè)程度， 以致數(shù)學(xué)物理學(xué)與二 階線性偏微分方程往往看成了一個(gè)東西！” [11]

在數(shù)學(xué)史上，算法傾向的意義是不能低估的。許多重大的數(shù)學(xué)真理都是探尋新算法 的結(jié)果。算法的創(chuàng)造同時(shí)也構(gòu)成進(jìn)一步演繹研究的基礎(chǔ)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的發(fā)展似乎呈現(xiàn) 出算法與演繹這兩種傾向的交替繁榮。十九世紀(jì)特別是后半葉，當(dāng)然是演繹數(shù)學(xué)的興盛 時(shí)代，然而在劍橋，從格林到麥克思韋的數(shù)學(xué)物理學(xué)派卻獨(dú)樹一幟。恰如牛頓給出了古 典物理的數(shù)學(xué)表述，十九世紀(jì)的劍橋?qū)W派為以場論為特征的新物理學(xué)提供了數(shù)學(xué)語言， 這兩件事都發(fā)生在劍橋，應(yīng)該說并不是偶然的。