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格林 中國科學院數(shù)學研究所 李文林 格林，G．(Green，George)1793年6月或7月生于英國諾丁漢郡；1841年5月31日卒于諾丁漢郡．數(shù)學． 1793年7月14日，英國諾丁漢郡圣瑪麗教堂的命名登記簿上增加了當?shù)孛姘鼛烥．格林(Green)與其妻莎拉(Sarah)新生男嬰的名字——與父親同名的喬治．格林的具體生日不詳，據(jù)命名日估計應在當年6月1日與7月14日之間．格林8歲時曾就讀于R．古達克爾(Goodacare)私立學校． 據(jù)格林的妹夫W．湯姆林(Tomlin)回憶，格林在校表現(xiàn)出非凡的數(shù)學才能．可惜這段學習僅延續(xù)了一年左右．1802年夏天，格林就輟學回家，幫助父親做工．19世紀初的諾丁漢郡正處于上升時期．編織業(yè)的發(fā)達，造成了人口的密集，與拿破侖的戰(zhàn)爭又促使小麥生意興?。?807年，格林的父親在諾丁漢近郊的史奈登(Sneiton)地方買下一座磨坊，從面包師變成了磨坊主．父子二人慘淡經(jīng)營，家道小康．但格林始終未忘他對數(shù)學的愛好，以驚人的毅力堅持白天工作，晚上自學，把磨坊頂樓當作書齋，攻讀從本市布朗利(Bromley)圖書館借來的數(shù)學書籍．布朗利圖書館是由諾丁漢郡有影響的知識界與商業(yè)界人士贊助創(chuàng)辦的，收藏有當時出版的各種重要的學術著作以及全套《皇家學會哲學學報》(Philosophical Transactions of Royal Society)．對格林影響最大的是法國數(shù)學家P．S．拉普拉斯(Laplace)、J．L．拉格朗日(Lagrange)、S．D．泊松(Poisson)、S．P．拉克魯阿(Lacroix)等人的著作．通過鉆研，格林不僅掌握了純熟的分析方法，而且能創(chuàng)造性地發(fā)展、應用，于1828年完成了他的第一篇也是最重要的論文——“論數(shù)學分析在電磁理論中的應用”(An essay on theapplication of mathematical analysis to the theories of electri－city and magnetism)．這篇論文是靠他的朋友們集資印發(fā)的，訂閱人中有一位E．F．勃隆黑德(Bromhead)爵士，是林肯郡的貴族，皇家學會會員．勃隆黑德發(fā)現(xiàn)了論文作者的數(shù)學才能，特地在自己的莊園接見了格林，鼓勵他繼續(xù)研究數(shù)學． 與勃隆黑德的結識成為格林一生的轉折．勃隆黑德系劍橋大學岡維爾-凱厄斯(Gonville－Caius)學院出身，同時又是劍橋分析學會的創(chuàng)始人之一．他建議格林到劍橋深造．1829年1月，格林的父親去世，格林獲得了一筆遺產(chǎn)和重新選擇職業(yè)的自由，遂將磨坊變賣，全力以赴為進入劍橋大學作準備．這期間他又完成了三篇論文——“關于與電流相似的流體平衡定律的數(shù)學研究及其他類似研究”(Mathematical investigations concerning the lawsof the equilibrium of fluids analogous to the electric fluidwith other similar research，1832．11)、“論變密度橢球體外部與內(nèi)部引力的計算”(On the determination of the exterior andinterior attractions of ellipsoids of variable densities，1833．5)和“流體介質(zhì)中擺的振動研究”(Researches on the vibration ofpendulums in fluid media， 1833．12)，均由勃隆黑德爵士推薦發(fā)表．1833年10月，年已40的格林終于跨進了劍橋大學的大門，成為岡維爾-凱厄斯學院的自費生．經(jīng)過4年艱苦的學習，1837年獲劍橋數(shù)學榮譽考試(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年獲學士學位，1839年當選為岡維爾-凱厄斯學院院委．正當一條更加寬廣的科學道路在格林面前豁然展現(xiàn)之時，這位磨坊工出身的數(shù)學家卻因積勞成疾，不得不回家鄉(xiāng)休養(yǎng)，于1841年5月31日在諾丁漢病故． 格林生前長期與磨坊領班W．史密斯(Smith)的女兒簡(Jane)同居，但始終未正式結婚．最初可能是由于他父親反對這門婚事，后來則因劍橋岡維爾-凱厄斯學院院委資格只授予單身漢，格林為了事業(yè)只好放棄正式結婚的打算．格林去世后，簡被承認為其合法遺孀，人們都稱她為“格林夫人”，他們生有兩個兒子、五個女兒． 格林短促的一生，共發(fā)表過10篇數(shù)學論文，這些原始著作數(shù)量不大，卻包含了影響19世紀數(shù)學物理發(fā)展的寶貴思想． 格林是現(xiàn)代位勢理論的先驅與奠基人之一．拉普拉斯在引力計算、泊松在電磁問題中都曾用過這樣的函數(shù)V，它同力場分量(X，Y，Z)的關系為 拉普拉斯同時指出函數(shù)V滿足方程 并采用球調(diào)和方法來解此方程．但拉普拉斯和泊松的方法都僅適用于特殊的幾何形體，因此有必要發(fā)展更一般的理論，這正是格林的工作與前人不同的地方． 格林認識到函數(shù)V的重要性，并首先引進了“位勢函數(shù)”這一名稱，他在第一篇論文“論數(shù)學分析在電磁理論中的應用”中寫道： “這樣的函數(shù)以如此簡單的形式給出電荷基元在任意位置受力的數(shù)值．由于它在下文中頻繁出現(xiàn)，我們冒昧地稱其為屬于該系統(tǒng)的位勢函數(shù)，它顯然是所考慮的電荷基元P的座標的函數(shù)”． 格林接著便發(fā)展了位勢函數(shù)V的一般理論，特別是建立了許多對于推動位勢論的進一步發(fā)展極為關鍵的定理與概念，其中尤以現(xiàn)用他的名字命名的“格林公式”與“格林函數(shù)”最為著名．設有函數(shù)U與V，在以曲面σ為邊界的區(qū)域τ內(nèi)充分光滑．格林從體積分 出發(fā)，應用分部積分法推導得 以上采用的是格林的原始記號，其中dσ為曲面σ的微元，dω為σ的內(nèi)法線段微元，而 公式(或稱格林定理)．用現(xiàn)代記號表示則相當于 格林還進一步探討了U，V在τ內(nèi)有奇點的情況，提出格林函數(shù)的概念．這是一種帶奇性的特殊位勢U，滿足方程δU=0，且“僅在曲面 的距離”．格林同時假設U在曲面本身上恒等于零．用現(xiàn)代記號表示，格林函數(shù)G(r，r′)滿足條件： 且有 以及 G(r，r′)= 0(當r∈σ)． 格林未給出函數(shù)U的存在與唯一性證明，但卻闡述了其物理意義：“為了說明確實存在所述函數(shù)U，我們設想曲面是一個接地良導體，在點p′上置一單位正電荷，則由p′及其在曲面上引發(fā)的電荷所產(chǎn)生的總位勢將等于所要求的U的值”，而“U滿足前述論證中所賦予的一切性質(zhì)”． 格林公式與格林函數(shù)已成為現(xiàn)代分析的基本工具，格林函數(shù)更被日益廣泛地應用于現(xiàn)代物理的許多領域，如量子碰撞、基本粒子理論與固體物理等． 格林對于波動的數(shù)學理論有濃厚的興趣并發(fā)表了多篇論文，其中最重要的是關于光波的研究．光的波動的數(shù)學描述，在19世紀數(shù)學家中一直是一個時髦的課題．在格林時代，科學界所持的一種普遍意見是把光看作彈性固體以太的振動，例如A．L．柯西(Cauchy)在光以太研究中采用了吸引與排斥形式相互作用的機械模型．格林對柯西和其他學者對以太中力的性質(zhì)作特殊假設的做法持批判態(tài)度，他在論文“論光在兩非晶介質(zhì)公共面上的反射與折射定律”(On the laws of reflexion and refraction of light at the common surface of two noncrystallized media，1837)中深刻地指出： “我們對于發(fā)光以太元之間相互作用的方式知道得如此少，因而最可靠的辦法還是以某種一般的物理原理作為推理的基礎，而不要去作特殊的假設．” 格林接著表述他所說的“一般原理”如下： “任一物質(zhì)系統(tǒng)的元素間不論以何種方式相互作用，若以所有的內(nèi)力分別乘以相應的方向元，則對該物質(zhì)系統(tǒng)的任一指定部分，此乘積的和永遠等于某函數(shù)的恰當微分．” 這實質(zhì)上相當于能量守恒原理．格林是第一個將這種一般形式的守恒原理引入彈性力學的學者．他由此出發(fā)導出了描述光媒質(zhì)振動規(guī)律的偏微分方程．在格林寫成他的光學論文時，M．法拉第(Faraday)的電磁感應剛發(fā)現(xiàn)不久，格林關于光波的數(shù)學研究還不具備突破機械以太觀的條件，但他選擇一般數(shù)學原理作為推導光媒質(zhì)運動方程的基礎而避免對以太的力學性質(zhì)作人為的假設，說明他在這方面比同時期的其他數(shù)學物理學家要高出一籌．格林的光波研究對彈性力學的發(fā)展亦有重要意義．現(xiàn)代彈性理論中的一種應變張量就被稱為“格林張量”． 格林關于水波的研究也引起人們的注意．1337年，英國工程師 S．羅素(Russell)首先觀察到一種叫“孤立波”(solitarywave)的現(xiàn)象．羅素于1844年第二次在不列顛科學協(xié)進會上作淺水波問題報告時，曾埋怨數(shù)學家們未能預報與描述他所觀察到的現(xiàn)象．然而在此之前，格林已發(fā)表了兩篇這方面的論文，其中第一篇“論具有較小深度與寬度的可變渠道中波的運動”(On themotion of waves in a variable canal of small depth andwidth，1837)幾乎是與羅素的第一份報告同時發(fā)表，格林在其中導出淺水波方程為： 其中φ為水平面對平衡位置的位移，2β，2γ分別表示矩形截面渠道的寬與深，它們是x的函數(shù)．為了解上述方程，格林作變換：φ=Af(t+X)(A和X均為x的函數(shù))．將 A，β，γ寫成 ωx的函數(shù)，設含ω2的項可忽略不計，則變換后原方程化為兩個方程：一個是關于函數(shù)A的方程，另一個是關于函數(shù)X的方程．分別解出這兩個方程，得到淺水波方程的解為： 其中f與F是任意函數(shù)．經(jīng)過比較不難看出，格林的上述方法與現(xiàn)代孤立波理論中普遍使用的所謂WKB方法是一致的． 格林在他的第二篇淺水波論文“關于渠道中波的運動的注記”(Note on the motion of waves in canals，1839)中，利用前述理論討論深度為c的渠道波的速度，獲得了與實驗數(shù)據(jù)相符合的近似公式． 目前所知的第一個非線性孤立波方程是由D．J．科特維克(Kotteweg)與G．德 弗里斯(De Vries)在1895年給出的．但如果調(diào)查一下19世紀水波方面的文獻，可以清楚地看出一條線索，說明科特維克與德弗里斯的理論是前人一系列研究的結晶，而格林的工作則處于這條線索的開端．格林無疑是歷史上最早試圖從數(shù)學上描述孤立波現(xiàn)象的數(shù)學家． 格林的著作中還包含許多其他的貢獻，它們的意義與影響還有待進一步探討．n維空間的概念是H．格拉斯曼(Grassmann)于1844年首先提出的．但在格林著作中已出現(xiàn)高維幾何的思想．格林1833年完成的論文“論變密度橢球體外部與內(nèi)部引力的計算”，率先發(fā)展了n元函數(shù)分析，其中使用s個坐標{x1，x2，…，xs}來代替通常的三維歐氏坐標，并使用s維球體與橢球體作為相應的三維圖形的推廣． 現(xiàn)代分析中扮演重要角色的所謂狄利克雷(Dirichlet)原理，溯其源亦為格林首創(chuàng)．在上述同一篇論文中，格林假設積分(用格林的原始記號) 存在一個極小化函數(shù)V0，并指出V0滿足方程 這正是s維情形的狄利克雷原理．W．湯姆生(Thomson，即后來的凱爾文勛爵)在1847年也闡述了同樣的原理，而他對格林的工作是十分熟悉的． 格林的工作孕育了以湯姆生、G．G．史托克斯(Stokes)和J．C．麥克斯韋(Maxwell)等人為代表的劍橋數(shù)學物理學派．現(xiàn)代數(shù)學物理仍然可以從格林著作中汲取營養(yǎng)．然而這位靠自學成才的數(shù)學家生前卻默默無聞．他的第一篇論文因未正式發(fā)表幾乎瀕于失傳．湯姆生在劍橋當學生時，從一篇論文的文獻索引中了解到格林這篇文章的題目，四處尋覓原作而不得．1845年，湯姆生從劍橋畢業(yè)，在行將離校的前夕將此事告訴了一位叫霍普金斯(Hopkins)的私人數(shù)學教師．出乎他的意料，霍普金斯細心收藏著格林這篇著作的傳本．湯姆生帶著這篇著作踏上了赴法國考察的旅途，并在巴黎向 J．劉維勒(Li ouville)和C．F．斯圖姆(Sturm)介紹了格林的論文，二者閱后立即意識到該文的價值，認為格林已為位勢論及其應用奠定了完整的基礎．后來，在德國數(shù)學家 A．L．克勒爾(Crelle)贊助下，格林這篇論文終于在他去世十年后在克勒爾主編的《純粹與應用數(shù)學雜志》(Jour．für Rei．undAug．Math．)上正式發(fā)表(1850)，湯姆生并為此撰寫了介紹格林生平與工作的導言．1871年，劍橋岡維爾-凱厄斯學院院委N．M．費勒(Ferrers)編輯的《格林數(shù)學文集》(Mathematical papers ofthe late George Green)在倫敦出版，格林的工作受到了越來越多的重視．今天，格林度過他艱苦自學歲月的磨坊依然存在，到諾丁漢訪問的人，很遠就可以看到它聳立的風輪．諾丁漢市決定維護好格林遺址，作為對這位磨坊工出身的數(shù)學家的永久紀念． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
