有些數(shù)字比其他數(shù)字更容易出現(xiàn)在公式中。有些人甚至?xí)f，有些數(shù)字比其他數(shù)字更重要。但是為什么呢？在這篇文章中，我將展示一些美麗的公式，它們都包含π，并試圖理解為什么π在數(shù)學(xué)中隨處可見。如果π只滲透到幾何和三角學(xué)領(lǐng)域，而不是數(shù)學(xué)的其他子領(lǐng)域，就不足為奇了。然而，π存在于數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域，在某些情況下，我們很難理解為什么π會出現(xiàn)。π存在于數(shù)論、微積分、代數(shù)、概率論和統(tǒng)計學(xué)等學(xué)科中，如果你有研究，會發(fā)現(xiàn)它非常神奇和有趣。π以某種形式出現(xiàn)，應(yīng)該意味著某個地方隱藏著一個圓，而在某些情況下，似乎并沒有。回憶一下，π就是任何圓的周長除以直徑得到的精確數(shù)字。下面的公式都會出現(xiàn)π。我將試圖解釋為什么會出現(xiàn)（π）？這個交替級數(shù)收斂于π/4。π為什么會出現(xiàn)在這個級數(shù)中？它來自于一個三角函數(shù)。已知幾何級數(shù)：當|x| < 1時成立。我們在兩邊用-x^2替換x，得到：在18世紀，喬治-路易·勒克萊爾，布馮伯爵提出了以下問題：假設(shè)有一張紙，在上面畫等距的平行線，然后在紙上放一根針，針的長度與兩線之間的距離相等。針與其中一條線相交的概率是多少？ 假設(shè)針的中心落在兩條線之間，我們可以不失一般性地假設(shè)針以及兩條線之間的距離是2個單位長。設(shè)針的中心為x，我們把這兩條直線放在一個坐標系中，使得最接近x的垂直線在0處穿過x軸（因此，它就扮演了第二個軸的角色）。我們可以用下圖來說明：紅藍線說明了這個實驗的兩種不同結(jié)果。這個圓說明了當針的中心為x時所有可能的結(jié)果。請注意，針永遠不能相交于兩條線，所以我們可以假設(shè)x在兩條直線的中心線的左邊。兩條直線的中心在x=1處。從上圖可以看出cos(θ) = x，因為我們需要讓x變化，所以需要反余弦函數(shù)，也就是arccos。公式變成了θ = arccos(x)。我們需要把所有的面積比加起來，有無窮個（面積比），因為x的每一個值都會給出一個這樣的比值。但我們有微積分工具，可以對x從0到1積分得到所有比值的和。現(xiàn)在我們可以用分部積分法對arccos(x)求導(dǎo)，來證明arccos(x)的不定積分是x arccos(x) - sqrt(1- x2) + C。最后得到 p = 2/π。這個公式中的圓來自于針的旋轉(zhuǎn)對稱。數(shù)學(xué)中最美麗的方程式當屬歐拉恒等式，1748年，萊昂哈德·歐拉提出了這個方程：如果你想做加法，你需要0；如果你想做乘法，你需要1；；如果你想學(xué)微積分，你需要e；如果你想做幾何，你需要π；如果你想做復(fù)分析，你需要i。這些數(shù)字都出現(xiàn)在了歐拉恒等式中。 它表達了兩個對稱之間的有趣關(guān)系。當我們用一個復(fù)數(shù)z乘以e^(πi)，得到的數(shù)字是z沿著半徑為|z|的圓旋轉(zhuǎn)π弧度得到的數(shù)字。歐拉恒等式表達了這樣一個事實：通過原點反射一個復(fù)數(shù)（即乘以-1）相當于將該數(shù)旋轉(zhuǎn)180度。這個結(jié)果中的圓，源于與上面的復(fù)指數(shù)相乘時的半圓旋轉(zhuǎn)。讓歐拉名聲大噪的一個發(fā)現(xiàn)是下面這個令人驚訝的結(jié)果：左邊的無窮級數(shù)是所有整數(shù)平方倒數(shù)的“和”。首先，歐拉回顧了正弦函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開式。正弦函數(shù)可以寫成冪級數(shù)。歐拉認為上面的左邊可以看成是一個無限多項式，我們都知道多項式可以被分解成線性因子的乘積形式其中c是一個數(shù)字，上面分母中的r是多項式的根（也稱為零點）。任何多項式都可以寫成這樣的事實叫做代數(shù)基本定理，這是一個非常重要的定理。歐拉認為這個定理也適用于一些“無限”多項式，如上面的冪級數(shù)。由于上述冪級數(shù)的常數(shù)項為1，顯然c = 1。我們現(xiàn)在有歐拉問自己這個函數(shù)的零點是什么。它們是正弦函數(shù)的零點，因此是π的整數(shù)倍。所以：第二個等式來自于將相鄰項相乘?，F(xiàn)在需要另一個絕妙的想法。歐拉意識到隱藏在上面的二次項分母中的平方數(shù)，并想把它們從乘積中“解放出來”。這聽起來很可怕，但是我們只需要得到冪級數(shù)的前兩項。顯然，常數(shù)項是1。第二項呢？對于相應(yīng)的無窮冪級數(shù)中的每個系數(shù)，我們只需要選擇一個非常數(shù)項然后從乘積中的其他項中選擇所有的1。然后，我們得到歐拉把它和泰勒級數(shù)表達式做了比較。也就是說：歐拉得出，右邊的兩個級數(shù)必須相等，也就是：再一次，我們可以解釋π是如何從正弦函數(shù)的零點來的，然而，如果真的想從幾何上理解這個問題，這并不是很令人滿意。在統(tǒng)計學(xué)、數(shù)論和許多其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，一個非常重要的積分結(jié)果是：這真的很神奇。下面這個鐘形曲線下的面積是π的平方根。有很多不同的方法來證明這一點。我最喜歡也是最優(yōu)雅的方法是把笛卡爾坐標系換成極坐標。具體來說，令現(xiàn)在我們計算I^2，并將其轉(zhuǎn)換為極坐標：在上面的計算中，我們對最后一個積分做了替換：r^2= u => r dr = du/2。現(xiàn)在，因為我們知道I一定是一個正數(shù)，得到那么這個圓在哪呢？當我們計算I^2時，我們實際上計算了一個（三維）體積，也就是在一個具有旋轉(zhuǎn)對稱的二維表面下的體積。得到的二重積分把無限多的圓面積“加起來”。把所有這些面積相加，得到的表達式不僅包含π，而且實際上等于π。看來，當π出現(xiàn)在一個公式中，我們可以通過某種隱藏在公式中的旋轉(zhuǎn)關(guān)系來解釋它。即使我們不能一眼看到它，但它肯定就在那里。關(guān)于π的討論還可以有很多，例如為什么用幾何方法解釋這類問題這么難，而用代數(shù)和微積分就（相對）容易了呢？
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