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copula是將多變量分布函數(shù)與其邊緣分布函數(shù)耦合的函數(shù)，通常稱為邊緣。在本視頻中，我們通過可視化的方式直觀地介紹了Copula函數(shù)，并通過R軟件應(yīng)用于金融時間序列數(shù)據(jù)來理解它。

視頻：Copula算法原理和R語言股市收益率相依性可視化分析

為什么要引入Copula函數(shù)？

當(dāng)邊緣分布（即每個隨機變量的分布）不同的隨機變量，互相之間并不獨立的時候，此時對于聯(lián)合分布的建模會變得十分困難。

讓我們從一個示例問題案例開始。假設(shè)我們測量兩個非正態(tài)分布且相關(guān)的變量。例如，我們查看各種河流，我們查看該河流在特定時間段內(nèi)的最高水位。此外，我們還計算了每條河流造成洪水的月份。對于河流最高水位的概率分布，我們可以參考極值理論，它告訴我們最大值是Gumbel分布的。洪水發(fā)生的次數(shù)將根據(jù)Beta分布進行建模，該分布只是告訴我們發(fā)生洪水的概率是洪水與非洪水發(fā)生次數(shù)的函數(shù)。

假設(shè)洪水的最高水位和數(shù)量是相關(guān)的，這是非常合理的。然而，這里我們遇到了一個問題：我們應(yīng)該如何對概率分布進行建模？上面我們只指定了各個變量的分布，而與另一個變量無關(guān)（即邊緣分布）。實際上，我們正在處理這兩者的聯(lián)合分布。

此時，在已知多個已知 邊緣分布的隨機變量下，Copula函數(shù)則是一個非常好的工具來對其相關(guān)性進行建模。

copula 的主要吸引力在于，通過使用他們，您可以分別對相關(guān)結(jié)構(gòu)和邊緣分布（即每個隨機變量的分布）進行建模。

因為對于某些邊緣分布組合，沒有內(nèi)置函數(shù)來生成所需的多元分布。例如，在 R 中，很容易從多元正態(tài)分布中生成隨機樣本，但是對于邊緣分別為 Beta、Gamma 和 Student 的分布來說，這樣做并不容易。

copula 將邊緣分布與研究它們的“關(guān)系”分開，因此您無需擔(dān)心考慮可能的單變量分布類型的所有可能組合，從而大大簡化了所需的代碼量。

Copula可以同時處理多個變量，例如您可以在一個群組中處理多只股票，而不僅僅是一對，以創(chuàng)建最終交易組合，以在更高的維度上發(fā)現(xiàn)錯誤定價。

什么是copula

Copula 在拉丁語中的意思是“鏈接”，copula 是將多元分布函數(shù)與其邊緣分布函數(shù)耦合的函數(shù)，通常稱為邊緣或簡稱為邊緣。Copulas 是用于建模和模擬相關(guān)隨機變量的絕佳工具。

總的來說，copula 是一種統(tǒng)計方法，用于理解多元分布的聯(lián)合概率。

Copula是模擬多元相關(guān)數(shù)據(jù)的流行方法，是一個表示多元均勻分布的概率模型，它檢查許多變量之間的關(guān)聯(lián)或依賴關(guān)系。

今天，copulas 被用于高級財務(wù)分析，以更好地理解涉及厚尾和偏度的結(jié)果。用于幫助識別市場風(fēng)險、信用風(fēng)險和操作風(fēng)險。它依賴于兩種或多種資產(chǎn)收益的相互依賴關(guān)系。相關(guān)性最適合 正態(tài)分布，而金融市場中的分布本質(zhì)上通常是非正態(tài)分布。因此，copula 已應(yīng)用于諸如期權(quán)定價和投資組合風(fēng)險價值等金融領(lǐng)域，以處理偏斜或不對稱分布。

如何使用copula 分析數(shù)據(jù)

回想一下，您可以使用累積分布函數(shù)將任何分布轉(zhuǎn)換為均勻分布。同樣，您可以使用逆累積分布函數(shù)將均勻分布轉(zhuǎn)換為任何分布。例如要模擬來自高斯 copula 的相關(guān)多元數(shù)據(jù)，請執(zhí)行以下三個步驟：

1.從相關(guān)矩陣模擬相關(guān)的多元正態(tài)數(shù)據(jù)。邊緣分布都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2.使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)將正態(tài)邊緣轉(zhuǎn)換為均勻分布。

3.使用逆累積分布函數(shù)將均勻邊緣分布轉(zhuǎn)換為 您想要的任何分布。

第二步和第三步中的轉(zhuǎn)換是在數(shù)據(jù)矩陣的各個列上執(zhí)行的。變換是單調(diào)的，這意味著它們不會改變列之間的等級相關(guān)性。因此，最終數(shù)據(jù)與第一步中的多元正態(tài)數(shù)據(jù)具有相同的秩相關(guān)性。

首先我們可以生成均勻分布的隨機變量

下面，我們想要轉(zhuǎn)化這些樣本使他們變成正態(tài)分布。那么，我們只需要以 x為累積分布函數(shù)值，對正態(tài)分布求逆即可，

如果我們將 x 和轉(zhuǎn)化后的x  的分布畫在一張圖中，就可以直觀的看出逆累積分布函數(shù)的樣子。

同理，我們也可以基于 beta 分布或者gumbel  分布來得到類似的圖像，這種概率積分變換的本質(zhì)是相同的。

而我們?nèi)绻胍獜囊粋€任意的分布到均勻分布，那么我們只需要進行一次累積分布函數(shù)就可以了。這里我將 轉(zhuǎn)換后的x 再做一次轉(zhuǎn)化

簡單的高斯Copula例子

我們構(gòu)建一個簡單的例子，來看如何利用概率積分變換來認(rèn)識高斯copula。首先從二元正態(tài)分布中生成樣本：

通過給 x1和x2的累積分布函數(shù)進行采樣，我們可以將其轉(zhuǎn)化成均勻分布。

現(xiàn)在，我們在上面的基礎(chǔ)上（構(gòu)建的高斯Copula函數(shù)），把邊緣分布換成Beta分布和Gumbel分布：

那如果沒有二者的耦合關(guān)系，這個圖是怎樣的呢？

兩張圖對比一下，還是很容易看出區(qū)別的吧！這就是我們使用copula函數(shù)內(nèi)在的方法了，其核心還是通過均勻分布。

Copula的數(shù)學(xué)定義

它是一個多元分布C，邊緣分布為均勻分布。它實際上只是一個具有均勻分布邊緣屬性的函數(shù)。它確實只有在與另一個變換結(jié)合以獲得我們想要的邊緣分布時才有用。

我們也可以更好地理解高斯 copula 的數(shù)學(xué)描述：

對于給定的R, 具有參數(shù)矩陣的高斯copula可以寫成   ，其中Φ? 1是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的逆累積分布函數(shù)，并且ΦR是平均向量為零且協(xié)方差矩陣等于相關(guān)矩陣的多元正態(tài)分布的聯(lián)合累積分布函數(shù)R.

請注意，在上面的例子中，我們采用相反的方式從該分布創(chuàng)建樣本。此處表示的高斯 copula 采用 均勻分布輸入，將它們轉(zhuǎn)換為高斯，然后應(yīng)用相關(guān)性并將它們轉(zhuǎn)換回均勻分布。

Copula函數(shù)主要應(yīng)用在哪里呢？

該工具最初是用在金融衍生品領(lǐng)域，該函數(shù)建模作為衍生品風(fēng)險度量的工作進行使用。在2008年金融危機中，這個工具被人廣泛的提及，認(rèn)為當(dāng)時采用的高斯copula沒有能夠完整度量衍生品連帶之間的風(fēng)險，從而導(dǎo)致一系列的違約，進而引發(fā)次貸危機、經(jīng)濟危機。

也有人事后寫了文章來介紹這個工具和現(xiàn)實社會經(jīng)濟的關(guān)系，包括很有名的電影《大空頭》，也有這段的描寫。

說回工具本身，除了金融領(lǐng)域，現(xiàn)在很多研究概率分布的領(lǐng)域都在使用copula，例如電力系統(tǒng)領(lǐng)域研究風(fēng)電、光伏等間歇性能源，也在使用這種方法進行建模。

接下來我們在R軟件中對金融時間序列進行copula建模。

copulas如何工作 

首先，讓我們了解copula的工作方式。

 set.seed（100）

m < -  3
n < -  2000
 
z < -  mvrnorm（n，mu = rep（0，m），Sigma = sigma，empirical = T）

我們使用cor()和散點圖矩陣檢查樣本相關(guān)性。

 pairs.panels（Z）

          \[，1\] \[，2\] \[，3\]
\[1，\] 1.0000000 0.3812244 0.1937548
\[2，\] 0.3812244 1.0000000 -0.7890814
\[3，\] 0.1937548 -0.7890814 1.0000000

 pairs.panels（U）

這是包含新隨機變量的散點圖矩陣u。 

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R語言多元Copula GARCH 模型時間序列預(yù)測

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我們可以繪制矢量的3D圖表示u。 

現(xiàn)在，作為最后一步，我們只需要選擇邊緣并應(yīng)用它。我選擇了邊緣為Gamma，Beta和Student，并使用下面指定的參數(shù)。

x1 < -  qgamma（u \[，1\]，shape = 2，scale = 1）
x2 < -  qbeta（u \[，2\]，2,2）
x3 < -  qt（u \[，3\]，df = 5）

下面是我們模擬數(shù)據(jù)的3D圖。 

df < -  cbind（x1，x2，x3）
pairs.panels（DF）
 
          x1 x2 x3
x1 1.0000000 0.3812244 0.1937548
x2 0.3812244 1.0000000 -0.7890814
x3 0.1937548 -0.7890814 1.0000000

這是隨機變量的散點圖矩陣：

使用copula

讓我們使用copula復(fù)制上面的過程。

現(xiàn)在我們已經(jīng)通過copula（普通copula）指定了相依結(jié)構(gòu)并設(shè)置了邊緣，mvdc()函數(shù)生成了所需的分布。然后我們可以使用rmvdc()函數(shù)生成隨機樣本。

 colnames（Z2）< -  c（“x1”，“x2”，“x3”）
pairs.panels（Z2）

模擬數(shù)據(jù)當(dāng)然非常接近之前的數(shù)據(jù)，顯示在下面的散點圖矩陣中：

簡單的應(yīng)用示例

現(xiàn)在為現(xiàn)實世界的例子。我們將擬合兩個股票 ，并嘗試使用copula模擬 。 

讓我們在R中加載 ：

cree < -  read.csv（'cree_r.csv'，header = F）$ V2
yahoo < -  read.csv（'yahoo_r.csv'，header = F）$ V2

在直接進入copula擬合過程之前，讓我們檢查兩個股票收益之間的相關(guān)性并繪制回歸線：

我們可以看到 正相關(guān) ：

在上面的第一個例子中，我選擇了一個正態(tài)的copula模型，但是，當(dāng)將這些模型應(yīng)用于實際數(shù)據(jù)時，應(yīng)該仔細(xì)考慮哪些更適合數(shù)據(jù)。例如，許多copula更適合建模非對稱相關(guān)，其他強調(diào)尾部相關(guān)性等等。我對股票收益率的猜測是，t-copula應(yīng)該沒問題，但是猜測肯定是不夠的。本質(zhì)上， 允許我們通過函數(shù)使用BIC和AIC執(zhí)行copula選擇 ：

 
  pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））\[，1\]
  selectedCopula
 

$ PAR
\[1\] 0.4356302

$ PAR2
\[1\] 3.844534

擬合算法確實選擇了t-copula并為我們估計了參數(shù)。 
讓我們嘗試擬合建議的模型，并檢查參數(shù)擬合。

t.cop  
set.seed（500）
m < -  pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））
 
COEF（FIT）

  rho.1 df 
0.43563 3.84453

我們來看看我們剛估計的copula的密度

rho < -  coef（fit）\[1\]
df < -  coef（fit）\[2\]

現(xiàn)在我們只需要建立Copula并從中抽取3965個隨機樣本。

  rCopula（3965，tCopula（  = 2， ，df = df））
 

          \[，1\] \[，2\]
\[1，\] 1.0000000 0.3972454
\[2，\] 0.3972454 1.0000000

這是包含的樣本的圖：

t-copula通常適用于在極值（分布的尾部）中存在高度相關(guān)性的現(xiàn)象。
現(xiàn)在我們面臨困難：對邊緣進行建模。為簡單起見，我們將假設(shè)正態(tài)分布 。因此，我們估計邊緣的參數(shù)。

直方圖顯示如下：

現(xiàn)在我們在函數(shù)中應(yīng)用copula，從生成的多變量分布中獲取模擬觀測值。最后，我們將模擬結(jié)果與原始數(shù)據(jù)進行比較。

這是在假設(shè)正態(tài)分布邊緣和相依結(jié)構(gòu)的t-copula的情況下數(shù)據(jù)的最終散點圖：

正如您所看到的，t-copula導(dǎo)致結(jié)果接近實際觀察結(jié)果 。 

讓我們嘗試df=1和df=8：

顯然，該參數(shù)df對于確定分布的形狀非常重要。隨著df增加，t-copula傾向于正態(tài)分布copula。