這是2021年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)的壓軸題，是一道拋物線上的等腰三角形和相似三角形問題，難度比較適中，適合平時(shí)多練一練，強(qiáng)化解題能力。

拋物線y=ax^2+bx+3的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0), 點(diǎn)B(3,0)，頂點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖1, 點(diǎn)P在拋物線上，連接CP并延長交x軸于點(diǎn)D，連接AC，若△DAC是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，在(2)的條件下，點(diǎn)E是線段AC上(與點(diǎn)A，C不重合)的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，作∠PEF=∠CAB，作EF交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，求m的取值范圍.

分析：(1)建議用韋達(dá)定理分別求a,b. 然后化為頂點(diǎn)式，直接得到C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)，由CD=AD求得D的坐標(biāo)，然后有兩種方法，一種是求CD的解析式，然后求CD與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；另一種是利用斜率公式，因?yàn)镻，C，D三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)都可以求得CD的斜率。后者更好用，但平時(shí)用得比較少。一定要學(xué)會(huì)哦！

(3)破題的關(guān)鍵是證明△EAF和△PCE相似，再利用相似三角形邊成比例的關(guān)系，就可以列得m關(guān)于E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，由E的橫坐標(biāo)的取值范圍，就可能求得m的取值范圍.

解：(1)由3/a=-3，得a=-1; 由-b/a=-1+3=2，得b=2;

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4, C(1,4).

(2)設(shè)D(d,0)，由CD=AD，有(1-d)^2+16=(d+1)^2, 解得：d=4.

設(shè)P(p, -p^2+2p+3),

由(-p^2+2p+3)/(p-4)=4/(1-4)=-4/3,

解得：p=7/3或p=1(舍去)，

-p^2+2p+3=-49/9+14/3+3=20/9,

∴P(7/3,20/9).

解：(3)∠CEF=∠CAB+∠AFE, 且∠CEF=∠CEP+∠PEF=∠CEP+∠CAB,

∴∠AFE=∠CEP, 又∠EAF=∠PCE, ∴△EAF∽△PCE, ∴AE/CP=AF/CE,

直線AC的解析式為：y=2x+2, 可設(shè)E(t, 2t+2) -1<t<1,

則AE=根號(hào)((t+1)^2+(2t+2)^2)=根號(hào)5(t+1). 

CE=根號(hào)((t-1)^2+(2t+2-4)^2)=根號(hào)5(1-t).

CP=根號(hào)((1-7/3)^2+(4-20/9)^2)=20/9.

∴5(1-t^2)=20(m+1)/9，化得：m=-9t^2/4+5/4, 【這是相似三角形邊的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化來的】

∴m的取值范圍為：-1<m≤5/4.

您覺得這道題怎么樣呢？