在物理學(xué)的基礎(chǔ)課程中，我們講到，物理量可以分為標(biāo)量和矢量兩種類型。一個物理量，如果只需要用一個數(shù)值就可以說明它的特性，這個物理量就被稱為標(biāo)量。比如說，鍋里的米粒的數(shù)目、桌面上的蘋果的數(shù)目、今天的氣溫、水的密度等就是標(biāo)量；有些物理量，除了數(shù)值之外，還需要用一個方向共同標(biāo)注它的特性，這些物理量就叫做矢量。比如說，汽車的行駛速度和物體的受力等就是矢量。

在大多數(shù)情況下，一個物理量，無論是標(biāo)量還是矢量，它的數(shù)值或者方向都會隨空間位置而變。如果一個物理量可以用一個標(biāo)量函數(shù)來描寫其數(shù)值隨空間位置變化的方式，我們就說這個物理量構(gòu)成一個標(biāo)量場；如果一個物理量要用一個矢量函數(shù)來描寫其數(shù)值或者方向或者兩者隨空間位置變化的方式，則這個物理量構(gòu)成一個矢量場。

關(guān)于矢量，存在兩種類型的運算：矢量代數(shù)和矢量場論。矢量代數(shù)討論在空間中若干個矢量之間的代數(shù)關(guān)系，即矢量的加法和乘法運算。矢量代數(shù)運算是我們在物理學(xué)的基礎(chǔ)課程中就熟悉的運算；矢量場論則著眼標(biāo)量場或矢量場的大小和方向隨空間位置變化的函數(shù)關(guān)系。矢量場論有三種基本運算：標(biāo)量函數(shù)的梯度、矢量函數(shù)的散度和旋度。

標(biāo)量函數(shù)的圖形表示

先回顧我們熟悉的一元函數(shù)。一元函數(shù)就是有一個自變量的函數(shù)，可以用一個畫在平面直角坐標(biāo)系中的圖來形象地描寫。用來畫這個函數(shù)圖形的坐標(biāo)系，它的橫軸標(biāo)記自變量的數(shù)值，縱軸標(biāo)記函數(shù)值。從函數(shù)圖形中可以看到，總會存在這樣的情況：對應(yīng)于自變量的不同數(shù)值，函數(shù)的數(shù)值相等，除非這是一個單調(diào)函數(shù)。我們稱函數(shù)值相等的點為等值點。比如說，如果圖中水平方向的虛線在縱軸上的截距是3，那么，橫軸上的紅點就是函數(shù)值等于3時的等值點。

再來看二元函數(shù)，即有兩個自變量的函數(shù)。類似地，可以用一個畫在三維直角坐標(biāo)系中的圖來形象地描寫一個二元函數(shù)，自變量用位于水平面上的兩根軸標(biāo)記，自變量的每一組不同的數(shù)值確定了自變量平面上的一個點，函數(shù)值則用沿豎直方向的軸標(biāo)記。不難想象，這樣畫出來的函數(shù)圖形必定是一個曲面。與一元函數(shù)相似，對應(yīng)于自變量平面上的不同點，函數(shù)的值有可能是相等的。與一元函數(shù)不同的是，這一次我們可以用一種不那么形象但更為簡潔的圖來描寫二元函數(shù)。

首先，我們嘗試將函數(shù)值曲面上與某個確定的函數(shù)值對應(yīng)的點投影到自變量平面上。一般情況下，函數(shù)值曲面上的這些點以及它們的投影點都能夠連接成一條光滑的曲線，我們稱自變量平面上的這條曲線為與這個確定的函數(shù)值對應(yīng)的等值線。不同的函數(shù)值對應(yīng)著不同的等值線。有時候，一個確定的函數(shù)值可能對應(yīng)著許多條等值線。現(xiàn)在，將標(biāo)記函數(shù)值的軸和函數(shù)曲面圖去掉，只留下標(biāo)記兩個自變量的軸構(gòu)成一個平面直角坐標(biāo)系，以及剛才在這個坐標(biāo)系中的投影點連成的等值線，就得到了二元函數(shù)的等值線圖。

等值線圖的一個重要的和常見的例子是地質(zhì)地理測量中的等高線圖，它是我們在基礎(chǔ)地理學(xué)課程中早就熟悉的。

對于三元函數(shù)，我們不能再像二元函數(shù)的情況那樣，形象地畫出它的函數(shù)圖形。不過，與二元函數(shù)相似，我們可以用一個三維直角坐標(biāo)系的三根軸來標(biāo)記三個自變量，在這樣構(gòu)建的三維空間中，三個自變量的每一組不同的數(shù)值，都對應(yīng)著空間中的一個點?，F(xiàn)在，在這個空間中畫出與某個確定的函數(shù)值對應(yīng)的點。一般情況下，這些點都能夠連接成一個光滑的曲面，這個曲面就是與我們剛才選出的那個確定的函數(shù)值對應(yīng)的等值面。一個確定的函數(shù)值可能對應(yīng)著多個等值面。

等值面圖的一個重要的和常見的例子是等勢面圖，它是我們在基礎(chǔ)物理學(xué)課程中遇到過的。

標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)

現(xiàn)在我們來討論三元函數(shù)的變化。為了直觀起見，我們討論一個標(biāo)量物理量隨空間位置而變的函數(shù)關(guān)系；為了簡便起見，我們在畫三元函數(shù)的等值面圖時，只象征性地畫出其中兩個變量，把等值面圖畫成等值線圖。實際上，對等值線和等值面的討論是相似的。

在三維空間中，有三個獨立的方向，它們對應(yīng)著三元函數(shù)的三個自變量。一個函數(shù)在這三個方向上的變化率可以用這個函數(shù)對三個自變量的偏導(dǎo)數(shù)來表示：

在很多場合中，我們還希望知道這個函數(shù)在其他方向上的變化率。比如說，函數(shù)在空間中某一點處沿著這個方向變化的快慢有多大？為了表示這種變化，引入方向?qū)?shù)的概念：，它表示函數(shù)在我們選定的這個方向上的變化率。如果我們選定的這個方向正好就是某根坐標(biāo)軸的方向，那么，方向?qū)?shù)就是對該坐標(biāo)軸對應(yīng)的自變量的偏導(dǎo)數(shù)。顯然，一般情況下，一個函數(shù)在空間中任意點沿不同方向的變化率是不一樣的。

方向?qū)?shù)

對于空間中任意一個確定點P，必然有一個等值面S通過這個點。設(shè)想有另外一個與這個等值面靠得很近的等值面S'，從無窮小的意義上說，兩個等值面可以近似地被看作是相互平行的平面。顯然，從P點到等值面S'的最短路徑沿等值面S在P點的法線方向，其路徑的長度記為，其他方向的路徑的長度都比這條路徑長：。但是，對于兩個相鄰的等值面S和S'，無論從P點向哪個方向到達(dá)S'，函數(shù)值的改變量都是一樣的。于是有

現(xiàn)在，讓這兩個相鄰的等值面無限地靠近，我們就得到

也就是說，對于空間中的任一點P，沿過P點的等值面S在P點的法線方向，函數(shù)的變化率最大：

顯然，對于兩個緊鄰的等值面，在忽略高階無窮小的近似下，，由此得到

                      (1)

我們把上述包括方向在內(nèi)的最大的變化率稱為標(biāo)量函數(shù)在P點的梯度，這是一個矢量，在空間中的不同點，梯度的數(shù)值和方向都有可能不一樣。一個標(biāo)量函數(shù)在空間中任意點的梯度記為

                    (2)

其中是過該點的等值面在該點處的法向單位矢量。

形如(1)式和(2)式給出的只是方向?qū)?shù)和梯度的定義式，要用它們計算方向?qū)?shù)并不是一件容易的事情。要計算方向?qū)?shù)，還需要進(jìn)一步尋找更清晰明了的表達(dá)式。