散度運算實例

最簡單最常用的矢量函數(shù)是位置矢量，在直角坐標系中，這個函數(shù)的三個分量為，根據(jù)矢量函數(shù)的散度的計算公式，在直角坐標系中，散度可以按照以下公式運算：

由此得到位置矢量函數(shù)的散度。

有時候還需要對位置矢量方向的單位矢量做散度。單位矢量本身是不容易進行運算的，因此要把這個單位矢量用位置矢量本身來表示：。這個矢量在直角坐標系中的解析表達式為

第一個重要的矢量函數(shù)是數(shù)值與距離的平方成反比的矢量函數(shù)：。這個函數(shù)作為有心力的表達式首次出現(xiàn)在有關(guān)萬有引力的問題中，之后在電磁學(xué)的領(lǐng)域中頻繁地出現(xiàn)。我們來看一看，對這個函數(shù)做散度會得到什么結(jié)果。在直角坐標系中，這個函數(shù)的解析表達式為

三個分量的偏導(dǎo)數(shù)分別為

由此得到這個矢量函數(shù)的散度

咋一看，事情似乎已經(jīng)做完了。但是，細心想一想，就會發(fā)現(xiàn)，這個平方反比的函數(shù)在原點處是奇異的，因此，在原點處一階偏導(dǎo)數(shù)不存在。但是，用常規(guī)的求偏導(dǎo)數(shù)的方法得到的結(jié)果是一個有限的確定的正常值，因此，這個矢量函數(shù)在原點處的散度不能用常規(guī)的求導(dǎo)數(shù)的方法得到，而必須按照散度的定義式進行運算。其實，函數(shù)在原點處是奇異的這種情況在求標量函數(shù)的梯度的例子中就曾經(jīng)出現(xiàn)過，當時已經(jīng)得到該標量函數(shù)的梯度為。不過，這個用常規(guī)的求導(dǎo)數(shù)的方法得到的梯度表達式當位置趨向原點時是奇異的；另一方面，在這個例子中，被求散度的標量函數(shù)在原點處的一階偏導(dǎo)數(shù)顯然是不存在的。因此，用求導(dǎo)數(shù)的方法得到的梯度表達式適用于全空間。這種情況在對電偶極子的勢取梯度時也曾經(jīng)出現(xiàn)過。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)在原點處的散度確實是奇異的，并且是無窮大這種奇異性。于是，矢量函數(shù)的散度在原點處是無窮大，在其余的位置則等于零。這種情況在數(shù)學(xué)上可以用一個叫做函數(shù)的特殊的函數(shù)來表示。函數(shù)具有這樣的性質(zhì)：

其中V是圍繞原點的一個任意形狀和任意大小的空間。為了得到這個平方反比函數(shù)在原點處的散度的具體表達式，令，取一個以原點為中心，半徑R為任意大小的球面S。在這個球面內(nèi)的空間V中積分剛剛設(shè)令的表達式，并利用散度定理將球體內(nèi)的積分轉(zhuǎn)換成球面上的積分：

這意味著，函數(shù)具有函數(shù)的特征。于是，平方反比矢量函數(shù)的散度在原點處的這種奇異性與非原點處的結(jié)果可以結(jié)合起來，用一個統(tǒng)一的表達式來表示這個函數(shù)在全空間上的散度：

把這三個偏導(dǎo)數(shù)加起來就得到平面電磁波的電場強度的散度：

從上面的例子中我們似乎感覺到了對矢量函數(shù)做散度運算的一些規(guī)則：由于做散度是一種偏導(dǎo)數(shù)運算，所以，導(dǎo)數(shù)的一些運算法則應(yīng)該在散度運算中有所表現(xiàn)。讓我們在更普遍的情形下對這些規(guī)則做出推演。設(shè)想有一個矢量函數(shù)，它由一個標量函數(shù)和另一個矢量函數(shù)相乘得到：。現(xiàn)在對這個矢量函數(shù)做散度運算：

這就得到了對標量函數(shù)與矢量函數(shù)相乘做散度的運算法則。如果標量函數(shù)是一個常數(shù)，第一項等于零；如果矢量函數(shù)A是一個常矢量，第二項等于零，這正是在平面電磁波那個例子中得到的結(jié)果。此外，凡是一階導(dǎo)數(shù)所具有的性質(zhì)，矢量函數(shù)的散度都同樣適用。比如說，兩個矢量函數(shù)之和的散度等于對這兩個矢量函數(shù)分別做散度之后再求和。如此等等，不再累贅。