債券基礎(chǔ) 

• 零息債券是指以貼現(xiàn)方式發(fā)行，不附息票，而于到期日時按面值一次性支付本利的債券。

• 債券的票面價值 債券的票面價值又稱面值,是債券票面標(biāo)明的貨幣價值,是債券發(fā)行人承諾在債券到期日償還給債券持有人的金額。

• 債券可以參考價格或收益率。例如，將支付100元的零息債券的價格可以是90元。但收益率將為（100?90）/90=11%，而不是10%。

• 債券收益率是投資于債券上每年產(chǎn)生出的收益總額與投資本金總量之間的比率。

• 債券可以在二級市場上交易（一級市場是債券發(fā)行過程）。如果利率增加，債券的價值就會增加，如果利率降低，債券的價值就會減少，這僅僅是因為該債券是在利率改變之前以便宜/昂貴的價格發(fā)行的。也可以做空債券。

• 雖然期望債券不會出現(xiàn)負(fù)利率，但也不是完全看不到。在危機(jī)時期，政府債券甚至公司債券都可以以負(fù)收益率交易(例如雀巢)。

債券定價

債券價格是通過使用票面利率和現(xiàn)金流來確定。

式中，CFt是t時的現(xiàn)金流，B（0，t）是貼現(xiàn)系數(shù)或0時價格

其中R（0，t）是在時間為t時在時間0的年度即期匯率。

B（0，t）也可以稱為零息債券的價格。

我們可以暗示零息票利率與市場上不同期限的債券。然后我們可以用這些利率建立一個期限結(jié)構(gòu)模型來為任何債券定價。嚴(yán)格違反期限結(jié)構(gòu)可能是買入/賣出機(jī)會，也可能是套利機(jī)會。

calculate_bond_price<-function(face_value=1000,coupon_rate=0.05,maturity=1,yearly_coupons=0){
    #該函數(shù)根據(jù)給定的債券B（0，t）的面值，到期日，年息率和等距付款來計算其價格
    #如果 yearly_coupons == 0, 它只在到期時支付
    #如果 yearly_coupons == 1, 每年支付一次
    #如果 yearly_coupons == 2, 每半年支付一次
    if(yearly_coupons==0){
        face_value/((1+coupon_rate)^maturity)
    }else{
        face_value/((1+coupon_rate/yearly_coupons)^(yearly_coupons*maturity))
    }

}
calculate_bond_price()

## [1] 952.381

如果我們有合適的證券，我們也可以從息票支付債券中構(gòu)建零息票債券。

• 1年期純貼現(xiàn)債券在95出售。

• 兩年期8％的債券售價99元。

2年期純折價債券的價格為99-0.08（95）= 91.4。

復(fù)利類型

簡單復(fù)利

假設(shè)利率為0.05，期限為2年。100美元的價格在到期時將是多少。

定期復(fù)利

如果將利息永久添加到本金投資中，那么我們的復(fù)利就是利率。假設(shè)相同的示例，但每半年復(fù)算一次。

年名義利率為  

連續(xù)復(fù)利

現(xiàn)在，假設(shè)復(fù)利的頻率很高，以至于在兩次加息之間的時間間隔是無限?。ń咏悖?。然后在極限情況下

因此，以我們的示例為例，連續(xù)復(fù)利的年利率是 

給定一組零息票債券價格，我們可以計算連續(xù)收益率 

#例如，債券價格為0.987，期限為半年。
calculate_yield(0.987,0.5)

## [1] 0.02617048

遠(yuǎn)期匯率

假設(shè)有兩個到期日不同的債券 

可以重新排列成

imply_forward_rate<-function(R0t1=0.04,R0t2=0.045,t1=1,t2=2){

    ((1+R0t2)^t2/(1+R0t1)^t1)^(1/(t2-t1)) -1

}
imply_forward_rate()

## [1] 0.05002404

到期日的相關(guān)性

利率不僅隨著到期日變化，而且隨著時間變化。我們還將調(diào)用某些數(shù)據(jù)和計算。

讓我們加載庫并檢查收益率曲線數(shù)據(jù)。

##             R_3M  R_6M  R_1Y  R_2Y  R_3Y  R_5Y  R_7Y R_10Y
## 1981-12-31 12.92 13.90 14.32 14.57 14.64 14.65 14.67 14.59
## 1982-01-31 14.28 14.81 14.73 14.82 14.73 14.54 14.46 14.43
## 1982-02-28 13.31 13.83 13.95 14.19 14.13 13.98 13.93 13.86
## 1982-03-31 13.34 13.87 13.98 14.20 14.18 14.00 13.94 13.87
## 1982-04-30 12.71 13.13 13.34 13.78 13.77 13.75 13.74 13.62
## 1982-05-31 13.08 13.76 14.07 14.47 14.48 14.43 14.47 14.30

相關(guān)系數(shù)矩陣顯示出收益率沒有完全相關(guān)。

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點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

R語言使用隨機(jī)技術(shù)差分進(jìn)化算法優(yōu)化的Nelson-Siegel-Svensson模型

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債券價格和收益率

在這一部分中，我們將看到構(gòu)建債券價格和收益率的方法。

直接法

假設(shè)您得到以下債券利率。請記住，名義匯率是100。

零息債券價格（B（0，t）

然后我們得到 

get_zero_coupon()

## $B0t
## [1] 0.9619048 0.9119386 0.8536265 0.7890111
## 
## $R0t
## [1] 0.03960396 0.04717001 0.05417012 0.06103379

線性插值

R03<-0.055
R04<-0.06

R03p75<-((4-3.75)*0.055+(3.75-3)*0.06)/(4-3)
R03p75

## [1] 0.05875

##或使用R函數(shù)
yield_interpolate<-approxfun(x=c(3,4),y=c(0.055,0.06))
yield_interpolate(3.75)

## [1] 0.05875

三次插值

假設(shè)我們的費(fèi)率如下： 

#插值2.5年的債券
t_val<-2.5
sum(abcd_vec*((2.5)^(3:0)))

## [1] 0.0534375

## [1] 0.0534375

間接方法（Nelson Siegel）

尼爾森·西格爾（Nelson Siegel）模型是模擬利率收益率曲線的一種流行方法。

其中θ是到期日，β0是長期收益率，β1是斜率參數(shù)，β2是曲率參數(shù)，τ是比例參數(shù)。

ns_data <-
data.frame(maturity=1:30) %>%
mutate(ns_yield=nelson_siegel_calculate(theta=maturity,tau=3.3,beta0=0.07,beta1=-0.02,beta2=0.01))

head(ns_data)

##   maturity   ns_yield
## 1        1 0.05398726
## 2        2 0.05704572
## 3        3 0.05940289
## 4        4 0.06122926
## 5        5 0.06265277
## 6        6 0.06376956

ggplot(data=ns_data, aes(x=maturity,y=ns_yield)) + geom_point() + geom_line()

可以使用參數(shù)來更好地估計收益曲線。

Nelson Siegel參數(shù)的估計

Nelson Siegel曲線估計。

##              beta_0     beta_1   beta_2    lambda
## 1981-12-31 14.70711 -5.3917409 3.269125 0.5123605
## 1982-01-31 14.35240 -0.7602066 2.834508 0.1887807
## 1982-02-28 13.74481 -0.9247232 2.681840 0.1236869

注意：我們將lambda稱為tau（ττ）（形狀參數(shù)）。

Beta靈敏度

考慮提供Fi未來現(xiàn)金流的債券價格  。因此，帶有beta參數(shù)的價格變化如下。

nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=2)

##      Beta0      Beta1      Beta2 
## -192.51332 -141.08199  -41.27936

nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=7)

##     Beta0     Beta1     Beta2 
## -545.4198 -224.7767 -156.7335

nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=15)

##     Beta0     Beta1     Beta2 
## -812.6079 -207.1989 -173.0285