一、鳥頭（共角）模型推理

兩個三角形中有一個角相等或互補，
特點：
有相等的角或共同的角或有互補的角，
圖①，角DAE與角BAC是共同的角，
圖②，角EAD與角BAC是相等的角，
圖③，角EAD與角BAC是互補的角，
圖④，因為角EAD與DAC都是90度角，所以角EAD與角BAC是互補的角。

兩個三角形面積比等于對應(yīng)角兩夾邊的乘積之比
△ADE與△ABE，以AD和AB為底邊，
高都是EF相等，為等高三角形;
△ABE與△ABC，以AE和AC為底邊，
高都是BC相等，為等高三角形;
等高三角形面積比等于底邊比，
△ADE與△ABE為等高三角形，面積比等于底邊比：
S△ADE:S△ABE=AD:AB,把它看為①式，
同理，
△ABE與△ABC是等高三角形，面積比等于底邊比：
S△ABE:S△ABC=AE:AC,把它看為②式,

我們把①式乘②式，
左邊乘以左邊等于右邊乘以右邊，
再約分一下，就是，
S△ADE:S△ABC=AD:AB × AE:AC
“小”表示小△ADE面積，“大”表示大△ABC面積
得出結(jié)論如下：

二、風(fēng)箏模型推理

就是任意四邊形對角線交叉的圖形，形狀像風(fēng)箏。

它們的比例關(guān)系，
把四邊形ABCD分成，由上半部分三角形，和下半部分三角形組成，
上半部分：
以BE和ED為底邊，高h(yuǎn)1，△ABE與△ADE為等高三角形
等高三角形面積比等于底邊比，S1:S2=BE:ED
上半部分:
以BE和ED為底邊，高h(yuǎn)2，△CBE與△CDE為等高三角形，
等高三角形面積比等于底邊比，S3:S4=BE:ED

我們把它結(jié)合起來，BE:ED=S1:S2=S3:4，
根據(jù)比例的性質(zhì)，外項乘外項，等于內(nèi)項乘以內(nèi)項，
S1×S4=S2×S3，也就是，左×右＝上×下，
交叉相乘積不變。

三、蝴蝶模型推理

蝴蝶模型就是梯形對角線交叉的圖形，或一組對邊平行的風(fēng)箏模型，形狀像蝴蝶

同風(fēng)箏模型原理，
S1×S4＝S2×S3，
左三角形面積×右三角形面積＝上三角形面積×下三角形面積，
左×右＝上×下，
交叉相乘積不變，
翅膀面積相等，

我們把圖形分成四塊，小、中、中、大，
△ADC與ADB為等底等高，'小'部分為公共部分，所以左中＝右中，左右翅膀相等，
以AC邊為底，△AOD與△COD為等高三角形，
面積比等于底邊比，所以，AO:CO＝小:中,
以AC邊為底，△AOB與△COB為等高三角形，
面積比等于底邊比，所以，AO:CO＝中:大，
等量關(guān)系，AO:AC＝?。校褐校?，

同樣：
以BD邊為底，△AOD與△AOB為等高三角形，
面積比等于底邊比，所以，DO:BO＝小:中,
以BD邊為底，△COD與△COB為等高三角形，
面積比等于底邊比，所以，DO:BO＝中:大，等量關(guān)系，DO:BO＝?。?中＋大，
等高關(guān)系，△ABD面積:△CBD面積＝小＋中:中＋大＝AD:BC，

面積份額關(guān)系：
假設(shè)上底AD為a，下底為BC為b，
小:中=中:大=a:b，
小△與大△為相似三角形，面積比等于對應(yīng)邊平方比，
小:大=a平方:b平方，
小=a平方(份),大=b平方(份)，
小:中＝a平方:中＝a:b, 得到，中=ab(份)，
梯形面積＝a平方+b平方+2ab=(a+b)平方(份)，
面積(份額比)，
上:下:中:梯形=a平方:b平方:2ab:(a+b)平方，

四、沙漏模型推理

蝴蝶模型去掉兩邊的翅膀就是沙漏模型。
兩條平行線段端點交叉相交，形成的上下兩個三角形，樣子像沙漏就
上下兩條線段平行，ABCD四個端點交叉相交于O點，形成上下兩個三角形，

同蝴蝶模型原理，
只少了兩個翅膀，它們的比例關(guān)系也與蝴蝶模型一樣，
邊與邊的比例關(guān)系：
AD:BC=AO:CO=DO:BO=a:b=h1:h2
面積之間的比例關(guān)系:
上下三角形是相似三角形，
相似三角形面積比等于對應(yīng)邊的平方比，
所以，上三角形面積:下三角形面積=a平方:b平方

五、金字塔模型推理

金字塔模型就是兩個相似三角形重疊在一起的圖形，樣子像金字塔。
如圖一大一小兩個三角形，小三角形與大三角形為相似三角形，
把它們重疊在一起，組成一個新的圖形，樣子像埃及金字塔。
金字塔模型就把沙漏模型變動一下，把沙漏模型上面的三角形旋轉(zhuǎn)180度
原理與沙漏模型原理都差不多。

大小三角形是相似三角形，所以對應(yīng)邊的比例相等。
邊與邊之間的比例關(guān)系：
AD:AB=AE=AC=DE=BC=AO:AF=a:b
DE//BC,平行線分割的長短邊比例關(guān)系：
AD:BD=AE:EC=AO:OF，
大小三角形面積之間的比例關(guān)系:
大小三角形是相似三角形，相似三角形面積比等于對應(yīng)邊的平方比，
小:大=a平方:b平方，

六、燕尾模型推理

三角形的三個頂點向?qū)叺倪B線交于一點，形狀像燕子的尾巴。
如圖三角形ABC,三個頂點向中間O點連線，
左邊為左燕尾，右邊為右燕尾，形狀像燕子尾巴。

面積與邊比例關(guān)系：
以AF為底邊，△ABO與△OBF為等高三角形，面積比等于底邊比，S1:S3=AO:OF
△AOC與△OFC為等高三角形，面積比等于底邊比，S2:S4=AO:OF,
比例關(guān)系也等于，S1+S2:S3+S4

以BC為底邊，S3與S4為等高三角形，面積比等于底邊比，S3:S4=BF:FC,
以AF為底邊，作三角形S1與S3的高h(yuǎn)1,作三角形S2與S4的高h(yuǎn)2,
以AO為底邊，S1和S2，為等底三角形，面積比等于高之比，S1:S2=h1:h2
以O(shè)F為底邊，S3與S4，為等底三角形，面積比等于高之比，S3:S4=h1:h2

燕尾模型面積與邊的比例關(guān)系,S1:S2=S3:S4=BF:FC,
左右燕尾比=左右底邊比。