在公元前400多年，古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家芝諾（Zeno）曾經(jīng)提出過(guò)一個(gè)令人困惑的悖論，我們先來(lái)看看這個(gè)悖論的具體內(nèi)容。

這個(gè)悖論的設(shè)定是：阿基里斯（Achilles）是一個(gè)英勇的戰(zhàn)士，也是一個(gè)奔跑速度很快的人，其速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過(guò)了烏龜。有一天，阿基里斯與一只烏龜進(jìn)行了賽跑，由于他的奔跑速度很快，因此烏龜要求阿基里斯給它一些領(lǐng)先的優(yōu)勢(shì)，也就是說(shuō)，當(dāng)烏龜跑出一段距離之后，阿基里斯才開(kāi)始追。

芝諾指出，當(dāng)阿基里斯開(kāi)始追的時(shí)候，烏龜已經(jīng)跑出了一段距離，我們可以將烏龜此時(shí)所在的落腳點(diǎn)稱為“起始點(diǎn)”，當(dāng)阿基里斯跑到“起始點(diǎn)”的時(shí)候，烏龜又向前跑出了一段距離，抵達(dá)了第二個(gè)落腳點(diǎn)，而當(dāng)阿基里斯跑到這個(gè)“第二個(gè)落腳點(diǎn)”的時(shí)候，烏龜又向前跑出了一段距離，抵達(dá)了第三個(gè)落腳點(diǎn)……

所以芝諾給出的觀點(diǎn)就是，在這個(gè)過(guò)程中，阿基里斯每一次追到烏龜上一個(gè)落腳點(diǎn)的時(shí)候，烏龜當(dāng)前所在的位置就總是會(huì)在這個(gè)落腳點(diǎn)的前面，在這樣的情況下，雖然阿基里斯與烏龜?shù)木嚯x在不斷縮短，但他卻永遠(yuǎn)都追不上這只烏龜。

可以看到，芝諾從理論上推導(dǎo)出了一個(gè)與實(shí)際情況明顯相悖的結(jié)果，這確實(shí)有點(diǎn)令人困惑，因?yàn)槟忝髅髦浪清e(cuò)的，卻很難反駁。不過(guò)“很難反駁”并不代表“不能反駁”，比如說(shuō)根據(jù)現(xiàn)在的量子理論，就可以對(duì)其進(jìn)行反駁。

這個(gè)悖論有一個(gè)重要的前提，那就是時(shí)間和空間都可以無(wú)限分割，但在量子理論中，時(shí)間和空間并不是可以無(wú)限分割的，它們都有一個(gè)不可再分割的單位，即普朗克時(shí)間（約5.39 x 10^-44秒）和普朗克長(zhǎng)度（約為1.6 x 10^-35米）。

據(jù)此我們就可以這樣反駁：當(dāng)阿基里斯與烏龜?shù)木嚯x縮小到了1個(gè)普朗克長(zhǎng)度，或者阿基利斯跑完他與烏龜?shù)木嚯x所需要的時(shí)間縮短到了1個(gè)普朗克時(shí)間的時(shí)候，阿基利斯就可以在下一個(gè)普朗克時(shí)間追上烏龜。那么，除了量子理論，還有沒(méi)有其他的方法進(jìn)行反駁呢？答案是肯定的。

芝諾實(shí)際上是把阿基里斯追上烏龜?shù)倪^(guò)程分割成了無(wú)窮多個(gè)階段，每個(gè)階段都有一個(gè)確定的時(shí)間長(zhǎng)度，為了方便討論，我們可以假設(shè)阿基里斯的速度是11米/秒，烏龜?shù)乃俣仁?米/秒，當(dāng)烏龜跑出10米的時(shí)候，阿基里斯就開(kāi)始追。

這其實(shí)就是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的追擊問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算可知，阿基里斯只需要1秒鐘就可以追上烏龜。

然而芝諾的思路卻是這樣的：當(dāng)阿基里斯跑到“起始點(diǎn)”的時(shí)候，他用了10/11秒的時(shí)間，而此時(shí)烏龜已經(jīng)跑到了“第二個(gè)落腳點(diǎn)”，距離“起始點(diǎn)”有10/11米，所以當(dāng)阿基里斯跑到“第二個(gè)落腳點(diǎn)”，他又會(huì)用去10/11^2秒的時(shí)間，而此時(shí)烏龜已經(jīng)跑到了“第三個(gè)落腳點(diǎn)”，距離“第二個(gè)落腳點(diǎn)”有10/11^2米，所以當(dāng)阿基里斯跑到“第三個(gè)落腳點(diǎn)”，他又會(huì)用去10/11^3秒的時(shí)間，接下來(lái)所用的時(shí)間段以此類推，如10/11^4秒、10/11^5秒……

可以看到，盡管這些時(shí)間長(zhǎng)度會(huì)越來(lái)越短，但它們的數(shù)值始終都會(huì)是一個(gè)正數(shù)。

根據(jù)我們的直覺(jué)，無(wú)窮多的正數(shù)之和，就應(yīng)該是一個(gè)無(wú)限大的數(shù)字，而這也是芝諾提出的這個(gè)悖論的一個(gè)重要前提，如果這個(gè)前提成立，那么阿基里斯追上烏龜就需要無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間，如此一來(lái)，阿基里斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜。

但無(wú)窮多的正數(shù)之和，真的就必定是一個(gè)無(wú)限大的數(shù)字嗎？答案當(dāng)然是否定的，實(shí)際上，如果你不斷地將前面我們計(jì)算出的時(shí)間長(zhǎng)度加起來(lái)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎么加，你計(jì)算出的結(jié)果都是小于1的。

而這也就意味著，在阿基里斯追上烏龜之前，無(wú)論他經(jīng)歷了多少個(gè)階段，他所用的時(shí)間之和都是小于1秒，據(jù)此我們就可以得出，芝諾提出的觀點(diǎn)，其實(shí)等價(jià)于這樣一種說(shuō)法，即：在小于1秒鐘的時(shí)間里，阿基利斯永遠(yuǎn)都追不上烏龜。

顯而易見(jiàn)的是，這是一句“正確的廢話”，因?yàn)楦鶕?jù)我們前面的計(jì)算，阿基里斯本來(lái)就需要1秒鐘的時(shí)間才能追上烏龜，所以這樣的說(shuō)法當(dāng)然是正確的，并不是一個(gè)悖論。