【教學(xué)理念】設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)凸顯小數(shù)概念本質(zhì)

荷蘭數(shù)學(xué)家西蒙·斯蒂文（Simon Stevin)說過：“創(chuàng)造小數(shù)就是為了把分?jǐn)?shù)變得像整數(shù)那樣，從而避免分?jǐn)?shù)的復(fù)雜計(jì)算。”可以說，小數(shù)的出現(xiàn)將分?jǐn)?shù)和整數(shù)在計(jì)數(shù)法和計(jì)算法層面達(dá)成了統(tǒng)一，即小數(shù)是數(shù)概念基于十進(jìn)位值制的一次拓展。本課核心學(xué)習(xí)目標(biāo)是利用“畫小數(shù)”等活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生聚焦小數(shù)的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法層面的意義理解。

表1 小數(shù)的意義學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)表（蘇教版五上第三單元第1課時(shí)）

圍繞核心目標(biāo)，本課設(shè)計(jì)了三個(gè)表現(xiàn)性任務(wù)（表1），主要是“畫小數(shù)”及相關(guān)活動(dòng)?！爱嬓?shù)”有諸多好處：（1）對(duì)學(xué)生個(gè)體來說，“畫小數(shù)”其實(shí)是個(gè)體對(duì)概念的理解和表征，在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)整理和深化對(duì)概念的理解，從而使他們有機(jī)會(huì)將原本可能模糊的、不夠精準(zhǔn)的、不夠深入的甚至錯(cuò)誤的理解逐漸清晰化、深刻化，達(dá)成一種概念理解的自我完善——所以作品往往呈現(xiàn)鮮明的個(gè)性化、原生態(tài)特點(diǎn)。（2）“畫小數(shù)”將學(xué)生對(duì)小數(shù)概念的內(nèi)隱性理解變得清晰可見，從而促使學(xué)習(xí)交流和“融錯(cuò)”基礎(chǔ)上的認(rèn)知生長真正發(fā)生。教師通過學(xué)生的畫小數(shù)表現(xiàn)可以讀取學(xué)生的思維，尤其是發(fā)現(xiàn)思維的疏漏之處，從而為富有針對(duì)性的學(xué)習(xí)指導(dǎo)提供依據(jù)；學(xué)生之間的作品展評(píng)則可以引導(dǎo)學(xué)生看見不一樣的思路，拓寬概念理解的視界，豐富概念的內(nèi)涵和外延，在多元呈現(xiàn)基礎(chǔ)上的比較促使學(xué)生不斷優(yōu)化對(duì)概念的理解，提升原先的思維層次和理解水平——從這一點(diǎn)看，數(shù)學(xué)畫具有很強(qiáng)的多元性和生長性特點(diǎn)。

下面是任務(wù)一中的教學(xué)片段，其亮點(diǎn)是學(xué)生在“畫0.3”的任務(wù)驅(qū)動(dòng)下“再創(chuàng)造”出十分位，隨后在學(xué)生互動(dòng)評(píng)議中適時(shí)引出十進(jìn)制計(jì)數(shù)法中數(shù)位及其計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系，完成向小數(shù)部分的拓展，這是本節(jié)課的關(guān)鍵部分。 

【教學(xué)片段】利用探究性畫圖引出十進(jìn)位值制

師：之前我們畫過這樣的數(shù)，今天我們繼續(xù)來畫數(shù)。只不過今天我們?cè)黾恿艘环N新的方式，咱們要在計(jì)數(shù)器上畫數(shù)。

師出示計(jì)數(shù)器圖，學(xué)生依次畫5、15。

師：畫15時(shí)，為什么不在個(gè)位上畫15顆珠子呢？

生：因?yàn)樵趥€(gè)位上畫夠10顆珠子，就可以進(jìn)位了。如果畫15，就要在十位上撥一顆珠子，再在個(gè)位上撥5顆珠子。

師：大家聽明白他的意思了嗎？

生：個(gè)位滿10要向十位進(jìn)1。

師板書：滿10進(jìn)1

師：大家知道個(gè)位上的計(jì)數(shù)單位是多少嗎？十位、百位上呢？……

師生互動(dòng)，完成板書：

師：從右往左看，是滿10進(jìn)1，那從左往右呢？

引出“退1當(dāng)10”，并完成板書：

師：這就是整數(shù)計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系。接著我們?cè)賮懋嫈?shù)，你能在計(jì)數(shù)器上畫0.3嗎？

生完成學(xué)習(xí)單上的任務(wù)。師巡視指導(dǎo)，了解學(xué)情。

圖1-4

師出示圖1：先來看這幅作品，他在個(gè)位上畫3顆珠子，大家有沒有什么想法？

生1：為什么要在個(gè)位上畫3顆珠子？1顆在個(gè)位上不就是1嘛，畫3顆不就是3了嘛？

師：3個(gè)一就表示3。好像畫的有點(diǎn)問題，是0.3嗎？

生：不是0.3，是3。

師出示圖2：咱們?cè)賮砜匆豢催@個(gè)同學(xué)的作品，來！請(qǐng)說說你的想法。

生2：我是想，0.3是1平均分成10份，其中的3份，所以就要從1里取3份。

師：原來你畫的是一顆珠子的十分之三，大家有什么意見？

生3：他畫的十分之三不準(zhǔn)確，看上去像二分之一。

生4：雖然可以這樣畫，但是實(shí)際上沒有十分之三的珠子，你沒法撥出來！

師出示圖3：這個(gè)小作者畫的是什么意思？

生5：我想既然小數(shù)不是個(gè)位上的數(shù)，它應(yīng)該是比個(gè)位小的數(shù)，所以我就再退位。

師：有沒有聽懂？他覺得這個(gè)計(jì)數(shù)器上，連個(gè)位都不能畫出0.3這個(gè)一位小數(shù)，需要再怎么樣？

生：退位。

師：所以又往后畫了一格，那這一顆珠子表示多少？

生5：這一顆珠子表示0.1，3顆珠子就表示0.3。

師出示圖4：看一下這位同學(xué)的，給大家介紹一下你的想法。

生6：0.3應(yīng)該是在個(gè)位后一位的。這后一位的一顆珠子表示十分之一，這一位就叫做十分位。在十分位上畫1顆珠子表示0.1，3顆就表示0.3。

師：有沒有聽清楚？太厲害了！他不僅知道需要一個(gè)新的數(shù)位，而且還知道這個(gè)數(shù)位叫什么？大家來大聲地讀一下。

生：十分位。

師：十分位的計(jì)數(shù)單位是多少？一顆珠子表示多少？

生：0.1或十分之一

師課件呈現(xiàn)數(shù)位：你知道在十分位的右邊又是哪一位嗎？計(jì)數(shù)單位是什么？再后面呢？它們之間有什么關(guān)系？……

引出：

師：現(xiàn)在你會(huì)將計(jì)數(shù)器改造一下再畫0.3嗎？

學(xué)生修改作品。

【作品分析】從學(xué)生作品看小數(shù)概念理解的思維路徑

1.從一幅作品說起 

圖5

在前測(cè)和課堂活動(dòng)中均有學(xué)生畫出圖5這樣的作品，經(jīng)過訪談得知學(xué)生有此表現(xiàn)主要出于兩種情況：其一，提前學(xué)過，知道兩位小數(shù)表示百分之幾；其二，由一位小數(shù)表示十分之幾推測(cè)出兩位小數(shù)表示百分之幾。所以，圖5這樣的作品雖然是正確的，但它反映的只是一個(gè)結(jié)果，學(xué)生對(duì)兩位小數(shù)意義的正常的探尋過程被屏蔽了；它的作者要么是被告知了這個(gè)意義，要么在推理或探索時(shí)跳過了自主思維中最關(guān)鍵的部分；盡管作者畫出了一幅并沒有錯(cuò)的作品，但是不一定真正理解兩位小數(shù)的本質(zhì)。那么，正常情況下，學(xué)生會(huì)怎么思考呢？

2.還原真實(shí)的思維過程

讓我們首先看圖6，小作者是怎么畫0.23的？依據(jù)訪談和課堂反饋，我們得知她的大體思維路徑：（1）先畫0.2，將正方形看作1，十等分后涂出
，這是一位小數(shù)的意義，她是已經(jīng)理解了的；（2）然后需要再接著畫0.03，比0.1更小的一個(gè)數(shù)，因?yàn)橛挟嬃泓c(diǎn)幾的經(jīng)驗(yàn)，她很快就會(huì)類推：需要把0.1再次十等分，每一份就是0.01，涂出這樣的3份就是0.03；（3）將0.2和0.03合起來就是0.23，也就是23/100。圖7的思路差不多：0.05比0.1小，先畫出0.1，再繼續(xù)十等分畫出0.05。實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，對(duì)有些學(xué)生來說，0.05其實(shí)比0.23更難理解更難畫，因?yàn)楹笳叩慕M成里有個(gè)0.2很容易看出來，而且這是已經(jīng)會(huì)畫的一位小數(shù)，而0.05難在需要先想到0.1。還有一點(diǎn)值得注意，由圖7要得出0.05就是5/100，一般還需要圖8這樣的直觀引導(dǎo)。當(dāng)然也會(huì)有一些學(xué)生雖然知道從小數(shù)的組成來理解其意義，但是因?yàn)橐晃恍?shù)學(xué)習(xí)時(shí)就理解不到位，所以也不能成功畫出兩位小數(shù)來，病根在一位小數(shù)意義理解上（圖9）。

圖6

圖7 

圖8

圖9

 3.洞穿錯(cuò)例背后的理解偏差

圖9這樣有錯(cuò)的作品，從某種意義上說，是教學(xué)真正發(fā)生的契機(jī)。數(shù)學(xué)畫作品能使學(xué)生的思維清晰可見，能夠暴露學(xué)生的迷思，能讓教師看見學(xué)生的錯(cuò)誤和困惑。圖9還說明了一個(gè)問題：即便學(xué)生已經(jīng)清楚一個(gè)小數(shù)的組成（具體表現(xiàn)之一是能夠在計(jì)數(shù)器上準(zhǔn)確表示出這個(gè)小數(shù)），他也不一定理解這個(gè)小數(shù)的意義。圖10-12也佐證了以上問題：圖10作者清楚0.11含有1個(gè)0.1和1個(gè)0.01，但卻不清楚0.1和0.01的具體意義，把0.11畫成了11/20；圖11則將0.03混同于0.3，但至少小作者知道小數(shù)需要將計(jì)數(shù)單位十等分，筆者認(rèn)為他很大可能是理解一位小數(shù)的意義的，只是在知識(shí)遷移時(shí)出現(xiàn)了問題；圖12的錯(cuò)誤可能首先在數(shù)的組成理解上出現(xiàn)偏差，百分位與百位發(fā)生混淆，另外對(duì)于0.02到底表示什么他的認(rèn)識(shí)肯定是不清晰的，可能只是模糊地知道是個(gè)比較小的數(shù)，加上之前百位的知識(shí)干擾，就阻礙了他對(duì)0.02的正確理解。

 圖10

圖11

圖12

以上四個(gè)錯(cuò)例，其實(shí)指向一個(gè)共同的錯(cuò)因，即學(xué)生對(duì)先前學(xué)習(xí)的一位小數(shù)的意義等基礎(chǔ)概念理解不深刻，對(duì)小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)不到位，盡管他們都經(jīng)歷了任務(wù)一的學(xué)習(xí)。這樣的錯(cuò)誤其實(shí)是正常的，畢竟這是小數(shù)意義單元的第一課時(shí)，任務(wù)一是學(xué)生初次接觸和體會(huì)小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)，不可能所有學(xué)生的認(rèn)識(shí)都能一次到位，這也體現(xiàn)了任務(wù)二、任務(wù)三設(shè)計(jì)的合理性和必要性。學(xué)生需要反復(fù)經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)，認(rèn)識(shí)才能真正發(fā)生提升，才能真正完成對(duì)一個(gè)新概念的意義建構(gòu)。

【課堂展評(píng)】以分層交流提升概念理解水平

筆者根據(jù)上述學(xué)習(xí)目標(biāo)和前測(cè)分析建立“畫兩位小數(shù)作品評(píng)價(jià)框架”（表2），為學(xué)生作品的課堂展評(píng)提供支撐。課堂上如何展評(píng)學(xué)生作品？并無標(biāo)準(zhǔn)答案，這里留給教師非常廣闊的教學(xué)空間，可以根據(jù)課堂實(shí)際情況靈活把握。比如本課任務(wù)二作品的展評(píng)就可以采用如下方案：

1.展評(píng)水平1的作品

出示圖5，學(xué)生說一說想法，追問：你怎么知道0.03表示
？

2.展評(píng)水平2作品

出示圖9，先請(qǐng)同學(xué)們?cè)u(píng)價(jià)，再請(qǐng)小作者說一說想法，指出其錯(cuò)誤。

3.展評(píng)水平3作品

（1）出示圖6，互動(dòng)評(píng)議，理解小作者的思維路徑。

（2）追問：如果用這種方法畫0.05你會(huì)嗎？學(xué)生思考后（有時(shí)間則嘗試畫一畫，沒時(shí)間則腦中畫圖），出示圖7，請(qǐng)學(xué)生說一說：你看懂了嗎？0.05表示什么？

（3）出示圖8：你還能看懂嗎？0.02表示什么？并回頭看圖5：現(xiàn)在你知道這個(gè)0.03為什么表示
了嗎？

4.展評(píng)部分錯(cuò)例

依次出示圖10、11、12（也可以整體呈現(xiàn)），請(qǐng)學(xué)生小組內(nèi)說說有什么問題？可以如何改進(jìn)？再全班交流。

5.完善作品

請(qǐng)學(xué)生修改完善自己的作品，同桌互查。

6.小組討論：根據(jù)自己的探究，結(jié)合同學(xué)的作品，說一說兩位小數(shù)表示什么意義？再全班反饋，得出：兩位小數(shù)表示百分之幾。

表2 畫兩位小數(shù)作品評(píng)價(jià)框架

以上設(shè)計(jì)指向提升學(xué)生對(duì)兩位小數(shù)意義的理解水平，具有鮮明的特點(diǎn)：

1.注重作品展評(píng)的層次性：圖5呈現(xiàn)的是兩位小數(shù)意義理解的結(jié)果，首先展評(píng)，便于引發(fā)學(xué)生的疑問和興趣；圖9雖有呈現(xiàn)思維過程的努力，但出現(xiàn)錯(cuò)誤沒有成功，有了方向卻沒有到達(dá)，這更能激起學(xué)生的探究興趣；這時(shí)候展評(píng)圖6-8，水到渠成，時(shí)機(jī)恰到好處，而且圖6、7、8依次出示，也是有講究的，還是本著“先易后難，先局部再整體”的認(rèn)知原則；最后展評(píng)錯(cuò)例，有了上面的理解基礎(chǔ)，學(xué)生才能更好地找出錯(cuò)因，做出修改。

2.注重體現(xiàn)學(xué)教評(píng)一致性：首先學(xué)生的學(xué)習(xí)、教師的教學(xué)和對(duì)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)都指向相同的目標(biāo)，即引導(dǎo)學(xué)生深刻理解兩位小數(shù)的意義，發(fā)展數(shù)感；其次課堂上的過程性評(píng)價(jià)實(shí)時(shí)評(píng)估和保障學(xué)生的學(xué)習(xí)行為一直沿著目標(biāo)指引的道路不斷進(jìn)階，比如用“你怎么知道0.03表示3/100”課堂提問指出圖5的不足，引出能展現(xiàn)真實(shí)探究過程的作品，并在圖6與圖7展評(píng)之間提問“如果用這種方法畫0.05你會(huì)嗎”，根據(jù)實(shí)際學(xué)情決定紙上或腦中嘗試畫圖；另外很重要的一點(diǎn)是堅(jiān)持“以評(píng)促學(xué)、以評(píng)促教”，對(duì)學(xué)生作品的分析和展評(píng)是為了促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)，比如設(shè)計(jì)中展評(píng)錯(cuò)例和完善作品的環(huán)節(jié)能夠促使學(xué)生比較和反思中提升理解水平，而教學(xué)實(shí)施過程可能出現(xiàn)的預(yù)設(shè)外生成將會(huì)作為教學(xué)反思的重點(diǎn)，為教師的教學(xué)改善提供資源。其實(shí)本來的設(shè)計(jì)并不是先展評(píng)圖5，而是將其歸入水平3作品中，正是在試教課堂的展評(píng)中發(fā)現(xiàn)圖5的作者并不真正理解0.03的意義，從而調(diào)整了教學(xué)。

這也提醒我們，數(shù)學(xué)畫的直觀性雖然比較容易讓教師和同伴讀懂學(xué)生個(gè)體的思維，但是這種“讀圖”還需要小作者“說圖”和同伴“評(píng)圖”的加持才能做到精準(zhǔn)。以上所有均是核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)與課程體系的重要組成部分，一起服務(wù)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

*本文系安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目《基于學(xué)習(xí)路徑分析的小學(xué)高年級(jí)“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)實(shí)踐研究》（立項(xiàng)號(hào)JK21075）階段性成果。該課題已于2023年11月以“優(yōu)秀”等次結(jié)題。本文發(fā)表于《小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)-數(shù)學(xué)》2023年第8期。