簡單的計數(shù)原理

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是排列、組合的兩個基本原理。為了讓教師更好的理解教材，我們在這里做一簡要的介紹。

我們先來看下面的問題：

從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。在一天中，火車有2班，汽車有3班。那么一天中，乘坐這些交流工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

因為一天中乘火車有2種走法，乘汽車有3種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5種不同的走法，如下圖所示：

一般的，有如下原理：

分類計數(shù)原理（也稱加法原理）完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m₁種不同的方法，在第2類辦法中有m₂種不同的方法……在第n類辦法中有m_n種不同的方法。那么完成這件事共有

N＝m₁＋m₂＋…＋m_n

種不同的方法。

再看下面的問題：

從甲地到乙地，要先從甲地乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有2班，汽車有3班。那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？（如下圖。）

這個問題與前面的問題不同。在前一問題中，采用乘火車或乘汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地，而在這個問題中，必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個步驟，才能從甲地到乙地。

這里，因為乘火車有2種走法，乘汽車有3種走法，所以乘一次火車再接著乘一次汽車從甲地到乙地，共有2×3＝6種不同的走法。

所有走法
    火車1──汽車1
    火車1──汽車2
    火車1──汽車3
    火車2──汽車1
    火車2──汽車2
    火車2──汽車3

一般的，有如下原理：

分步計數(shù)原理（也稱乘法原理）完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m₁種不同的方法，做第2步有m₂種不同的方法……做第n步有m_n種不同的方法。那么完成這件事共有

N＝m₁×m₂×…×m_n

種不同的方法。

例書架的第1層放有4本不同的科技書，第2層放有3本不同的漫畫書，第3層放有2本不同的文學書。

（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

解：（1）從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本科技書，有4種方法；第2類辦法是從第2層取1本漫畫書，有3種方法；第3類辦法是從第3層取1本文學書，有2種方法。根據(jù)分類計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是

N＝m₁＋m₂＋m₃＝4＋3＋2＝9

答：從書架上任取1本書，有9種不同的取法。

（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本科技書，有4種方法；第2步從第2層取1本漫畫書，有3種方法；第3步從第3層取1本文學書，有2種方法。根據(jù)分步計數(shù)原理，從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是

N＝m₁×m₂×m₃＝4×3×2＝24

答：從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法。

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，回答的都是有關做一件事的不同方法種數(shù)的問題。區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事。