真題求解

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，點P、Q同時從A點出發(fā)，分別做勻速運動.其中點P沿AB、BC向終點C運動，速度為每秒2個單位；點Q沿AD向終點D運動，速度為每秒1個單位。當(dāng)這兩點中有一個點到達自己的終點時，另一個點也隨之停止運動。設(shè)這兩個點出發(fā)時間為t秒，問：

⑴ P與Q哪一點先到達自己的終點?此時t為何值？

⑵ 當(dāng)0<t<2時，判斷以PQ為直徑的圓與AD是否相切。

⑶ 以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范圍.若不可能，請說明理由。

解題思路提示

一.本題考查的知識點較多，非?？简炌瑢W(xué)們的綜合運用知識的能力，特別是第⑵問和第⑶問中，充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何知識相結(jié)合的特性，這些都是解答本題的重點和難點，請同學(xué)們牢記本題的解答方法，熟練掌握題中所用到的相關(guān)知識點；

二.本題用到相關(guān)知識有矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形勾股定理的應(yīng)用，利用求根公式求解二次函數(shù)，等邊三角形的判定，直角三角形中相應(yīng)邊比值生成三角函數(shù)值，這些知識在應(yīng)用的過程中應(yīng)該緊密聯(lián)系，充分利用各知識點之間的關(guān)聯(lián)性，請同學(xué)們多加練習(xí)，注意總結(jié)！

1、仔細審題，根據(jù)題中條件規(guī)定的點P和點Q的速度，結(jié)合AB，BC和AD的長度，你能分別計算出點P到點C的運動時間和點Q到點D的運動時間嗎?

2、第⑵問中，過B作BELAD于E，連接PQ，證明PQ丄AD即可，可嘗試通過證明△APQ∽△ABE得到，自己試試吧！

3、第⑶問中，過P1作P1M丄A1D1于M，連結(jié)OK，由線段BE和BC的長度，可以判定在2s內(nèi)以PQ為直徑的圓與線段CD是相離的，進而將t的范圍縮小在2<t≤5之間；

4、可先令以PQ為直徑的圓的圓心為O，當(dāng)半徑為OK時，⊙O與CD相切，根據(jù)點P和點Q的速度以及AB，BC和AD長度，不難得到C1P1和D1Q1的長度，根據(jù)P1M丄A1D1，可以得到D1M的長度，進而得到QM的長度，結(jié)合OK是梯形C1D1Q1P1中位線，可以得到OK的長度，得到P1Q1的長度，然后根據(jù)△P1MQ1是直角三角形，利用勾股定理表示出三邊關(guān)系，得到關(guān)于t的關(guān)系式，求解即可，快試試吧！

解題步驟

解：⑴點P先到達終點，理由如下：

∵AB=4，BC=6，AD=8；

∴點P的運動路程為10，點Q的運動路程為8；

∵點P的速度為每秒2個單位，點Q的速度為每秒1個單位；

∴點P運動完全程需要時間5秒，點Q運動完全程需要時間8秒，

∴點P先到達終點，此時時間t=5

⑵ 當(dāng)0<t<2時，以PQ為直徑的圓與AD相切，

理由如下：

過點B作BE丄AD于E，則∠BED=90°，連接PQ

∵∠D=∠C=90°，∠BED=90°

∴四邊形BCDE是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形）

∴BC=DE=6(矩形的對邊相等)

∴AE=2

∴AB/AE=2

∵點P的速度為每秒2個單位，點Q的速度為每秒1個單位

∴AP/AQ=2

∴AP/AQ=AB/AE，∠A為公共角

∴△APQ∽△ABE(兩邊對應(yīng)成比例且夾角

相等的兩個三角形相似)

∴∠AQP=∠AEB=90°，即PQ丄AD(相似三角

形的對應(yīng)角相等)

∴AD是以PQ為直徑的圓的切線 (過圓上一點且垂直于過該點及圓心的線段的直線是圓的切線）

故當(dāng)0<t<2時，以PQ為直徑的圓與AD相切

⑶由⑵可知，當(dāng)0<t≤2時，PQ的最大長度為

BE

∵BE丄AD， AB=4，AE=2

∴BE=√AB*2-AE*2=2×√3 (直角三角形勾股定理求值)

∵BE=2×√3，BC=6

∴BC>BE

∴當(dāng)0<t≤2時，以PQ為直徑的圓不能與CD相切

當(dāng)2<t≤5時，設(shè)以P1Q1為直徑的⊙O與C1D1相切于點K，此時

P1C1=10-2t，D1Q1=8-t；

過點P1作AM丄A1D1于點M，連結(jié)OK，則

OK丄C1D1

∵OK丄C1D1，Q1D1丄C1D1；

∴OK//Q1D1 (如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行)

∵OK//Q1D1，點O是Q1P1的中點

∴OK是梯形C1D1Q1P1的中位線 (平行于梯

形的一條底邊且過任一腰中點的線段是該梯

形的中位線）

∴OK=1/2×(C1P1+D1Q1)=9-3/2ⅹt (梯形中位線等于上底加下底的和的一半)

∵P1Q1，是⊙O的直徑OK是⊙O的半徑

∴P1Q1=2OK

∴P1Q1=18-3t

同⑴可知

P1M=C1D1=2×√3，D1M=C1P1=10-2t，

∴Q1M=t-2

∵P1M=2×√3Q1M=t-2P1Q1=18-3t，P1M丄MQ1

∴(18-3t)*2=(2×√3)*2+(t-2)*2(直角三角形勾股定理）

解得，t=13-√15/2，或t=13+√15/2(舍去）

故當(dāng)t=13-√15/2時，以PQ為直徑的圓與CD相切.

解題小結(jié)

點的運動(特別是兩個點的運動)，往往導(dǎo)致的是線的變化，這類題很多時候要把它作為動線問題，同時考慮兩運動時的變化才能正確求解。

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