問(wèn)題：設(shè) 當(dāng)日 T 的日期是 公元 y 年 m 月 d 日，求 T 是 星期幾？

為了方便，我們用 0 到 6 的整數(shù)表示星期，0 表示星期日，1 到 6 分別表示 星期一 到 星期六。

（注：以下解答只適用于格里高利歷。）

設(shè) T 是 星期 w，公元1年1月1日 的前一天是 Z?，Z? 是 星期 w?，T 距離 Z? 過(guò)了 S 天，于是有：

w = (w? + S) mod 7 ①

其中，mod 為 (w? + S) 除以 7 的 余數(shù)。

而

S = D' + D

其中， D' 為 y 年 1 月 1 日 的前一天 Z 距離 Z? 的累積天數(shù)，D 為 T 在 y 年內(nèi)的 累積天數(shù)。

顯然，Z 距離 Z? 剛好是 過(guò)了 y - 1 年?？紤] 一個(gè)平年有 365 天，再考慮閏年規(guī)定：

• 普通閏年：能被 4 整除但不能被 100 整除的年份為普通閏年；

• 世紀(jì)閏年：能被 400 整除的為世紀(jì)閏年，

則

D’ = 365(y-1) + [(y-1)/4] - [(y-1)/100] + [(y-1)/400]，

其中 [x] 表示 取 x 的整數(shù)部分。

注：[x + 1/2] 就是對(duì) x 四舍五入。

當(dāng) T 為 公元2019年1月1日 時(shí)，D = 1，D‘ = 737059，查日歷知道 公元2019年1月1日 是星期二，即，w = 2 帶入 ① 有：

2 = (w? + 737059 + 1) mod 7 = (w? + 737058 + 1 + 1) mod 7 = (w? + 105294 ×7 + 2) mod 7 = (w? + 2) mod 7

求得：

w? = 0

而：

(365(y-1)) mod 7 = (364(y-1) + (y-1)) mod 7 = (52×7(y-1) + (y-1)) mod 7 = (y-1) mod 7

所有最終 ① 簡(jiǎn)化為：

w = ((y-1) + [(y-1)/4] - [(y-1)/100] + [(y-1)/400] + D) mod 7 ②

接下來(lái)，需要計(jì)算 年內(nèi) 累積天數(shù) D。考慮平年的情況，有：

設(shè)， m 月 1日前 累積超出天數(shù) 為 P(m) 則：

D = P(m) + 28 × (m - 1) + d ④

接下來(lái)，需要求 P(m)。考慮 2 月的特殊性，將 1 月 和 2 月 挪到 12 后面 變成 13 和 14 月，于是得到：

令，

對(duì)這些點(diǎn)，進(jìn)行線性擬合：

P(x) = ax + b

使用，最小二乘法，

有：

解方程的得到：

線性擬合圖形如下：

由于 2.6 = 13/5，而 P(x) 需要是整數(shù)，于是令：

P(x) = [13x/5 + b']

嘗試 b' = 0.4 ，將 x = 0 到 11 帶入得到序列：

0, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 29

這和 (5) 完全一致，于是 b' = 0.4 有效，進(jìn)而有：

P(x) = [13 x / 5 + 0.4] = [13 (x + 4) / 5 - 13 × 4 / 5 + 0.4] = [13 (x + 4) / 5 - 10.4 + 0.4] = [13 (x + 4) / 5 - 10]

即，

P(x) = [13 (x + 4) / 5] - 10 ⑥

令，

k = [(14 - m) / 12]

即，當(dāng) m 為 1, 2 月 時(shí)，k = 1，m 為其它月份時(shí)，k = 0；

又令，

M = m + 12k；

即，當(dāng) m 為 1, 2 月時(shí)，M 為 13，14 月，m 為其它月份時(shí)，M = m；

于是，有：

x + 4 = M + 1

于是 ⑥ 改寫為：

P(M) = [13 (M + 1) / 5] - 10

但這是 沒(méi)有考慮 3月前累計(jì)天數(shù)的情況，根據(jù) (3) 需要加上 3月前累計(jì)天數(shù) 3 ，于是：

P(M) = [13 (M + 1) / 5] - 10 + 3 = [13 (M + 1) / 5] - 7

帶入 ④ 得到：

D = [13 (M + 1) / 5] - 7 + 28 × (m - 1) + d ④'

再 考慮 ② 式：

w = ((y-1) + [(y-1)/4] - [(y-1)/100] + [(y-1)/400] + D) mod 7

由于 1, 2 月份 被計(jì)算為 13， 14 月，等于多算了一年，因此 需要再減去 1 年，于是，令：

Y = y - k

將 ② 改寫為：

w = ((Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D) mod 7 ②'

分析對(duì)閏年的修正：

• 當(dāng) y 是閏年， m = 1, 2 月份 時(shí)，Y = y - 1，這時(shí)無(wú)需考慮 閏年 情況，因?yàn)?當(dāng) m = 2 , d = 29 時(shí) 自然 就包括了 閏年。

• 當(dāng) y 是閏年時(shí)， m ≥ 3 月份，則 Y= y，這時(shí)，因?yàn)椋?根據(jù) (3) ，在考慮 3月前累計(jì)天數(shù) 時(shí)，是按照 平年計(jì)算的，因此并沒(méi)有考慮 Y 是是否是閏年，于是計(jì)算閏年偏差時(shí)需要附帶上 Y，于是 將 ②' 繼續(xù)改寫為：

  w = ((Y-1) + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + D) mod 7 ②'

  改寫后，因?yàn)?1 的情況 Y = y-1，剛好避開(kāi)了 閏年的計(jì)算，因此 1 不受 ②' 改寫為 ②'’ 影響，故 ②' 對(duì)于 1 同樣有效。

• 當(dāng) y 是閏年 + 1，m = 1, 2 月份 時(shí)，Y = y - 1，這時(shí) Y 是閏年，于是和 2 的情況相似，于是 ②' 有效。

• 其他情況，均不受 ②' 改寫為 ②'’ 影響。

最終，將 ④' 帶入 ②'’ 有：

w = ((Y-1) + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [13 (M + 1) / 5] - 7 + 28 × (m - 1) + d) mod 7

最終得到，答案1：

w = (Y + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7 ⑦

上面在進(jìn)行線性擬合時(shí)，也可以選取 (5) 的部分點(diǎn)進(jìn)行擬合，例如，選取 y 值間距大于等于3 的點(diǎn)：

同樣是最小二乘法，計(jì)算結(jié)果為：

考慮 a ≈ p / q， p = [q × 2.59 + 0.5]，篩選 p 較小，|q × 2.59 - p| 也較小 （小于 0.1）的情況，寫成JavaScript代碼如下：

運(yùn)行上面的 JavaScript 得到：

['13/5', '31/12', '44/17', '57/22', '70/27']

第一種情況 13/5 上面已經(jīng)分析過(guò)了，現(xiàn)在考慮 第二種情況 31/12：

令：

P(x) = [31x/12 + b']

嘗試讓 b' = 1/2，將 x = 0 到 11 帶入得到序列：

0, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 28

這和 (5) 相比 最后一項(xiàng) 28 偏小，于是嘗試讓 b'=2/3，將 x = 0 到 11 帶入得到序列：

0, 3, 5, 8, 11, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 29

第 4 項(xiàng) 11 又偏大，于是令 b' = (1/2 + 2/3) / 2 = 7/12，將 x = 0 到 11 帶入得到序列：

0, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 29

終于和 (5) 完全吻合，于是 b' = 7/12 有效，進(jìn)而：

P(x) = [31x / 12 + 7/12] = [31x / 12 + (7 + 2×12) / 12 - 2] = [31x / 12 + 31 / 12 - 2] = [31(x + 1) / 12] - 2

令 M' = m + 12k - 2，則 x + 1 = M'，再考慮 3月前的累積天數(shù) 3，則有：

P(M') = [31M'/12] - 2 + 3 = [31M'/12] + 1

于是：

D = [31M'/12] + 1 + 28 × (m - 1) + d

帶入 ②'’ 有：

w = ((Y-1) + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [31M'/12] + 1 + 28 × (m - 1) + d) mod 7

最終得到，答案2：

w = (Y + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [31M'/12] + d) mod 7 ⑦'

考慮 ⑦ 式：

w = (Y + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7

設(shè) Y 的世紀(jì) 為 c，Y 后兩位為 Y' = Y mod 100；

在一個(gè)世紀(jì)的 100 年里，星期偏移為：

(100 + [99 / 4]) mod 7 = 5

如果 世紀(jì)最后一年 是 閏年，則 星期偏移 還要 加 1，即：

6

根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果，由于 公元1年1月1日 的前一天是 星期 日，故 公元1年1月1日 是星期 1，進(jìn)而 公元1年3月1日 是星期 4。

從 公元1年3月1日 開(kāi)始 每個(gè) 世紀(jì)元年的 3月1日 星期為：

觀察發(fā)現(xiàn) 世紀(jì)元年的 3月1日 星期序列為 每 4 年循環(huán)一次：

4, 2, 0, 5

又，因?yàn)?5 mod 7 = 5 mod 7 - 7 mod 7 = (5 - 7) mod 7 = - 2 mod 7，

循環(huán)序列可改寫為：

4, 2, 0, - 2

它是一個(gè)等差數(shù)列，令 C = c - 1，則有：

D' = 4 - 2(C mod 4)

但是這是 每個(gè)世紀(jì)元年的 3月1日 的 星期偏差，我們要的是 每個(gè)世紀(jì)元年的 1月1日 前一天 的 星期偏差，于是 需要減去 3(1月1日 到 3月1日 的星期偏差) + 1(1月1日前一天到1月1日的星期偏差) = 4，即，

D' = 4 - 2(C mod 4) - 4 = - 2(C mod 4)

又 C mod 4 = C - 4[C/4]，故：

D' = - 2(C - 4[C/4]) = 8[C/4] - 2C

由于我們從 3月1日 返回 1月1日 時(shí) 移入的 星期偏差 是平年的情況，因此 D'' 作為 每個(gè)世紀(jì)元年的 1月1日 前一天 的 星期偏差 已經(jīng)計(jì)算了 世紀(jì)閏年的情況，于是：

Y + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] = D'' + Y' + [Y'/4] = 8[C/4] - 2C + Y' + [Y'/4]

進(jìn)而有：

w = (8[C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7 = (7[C/4] + [C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7

即，

w = ([C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7 ⑧

為了方便計(jì)算，改寫為：

w = ([C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [26 (M + 1) / 10] + d - 1) mod 7

這就是 蔡勒（Zeller）公式。

答案3：設(shè) 當(dāng)日 T 的日期是 公元 y 年 m 月 d 日，則 T 的 星期數(shù)為：

w = ([C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [26 (M + 1) / 10] + d - 1) mod 7

其中，[] 為求整數(shù)運(yùn)算，mod 為取余數(shù)運(yùn)算，C 為 Y 世紀(jì) - 1，Y' 為Y最后兩位數(shù)；當(dāng) m = 1， 2 月份時(shí)，Y = y - 1, M = m + 12，當(dāng) m 為其它月份時(shí)，Y = y， M = m。