§2.8  微分在近似計算中的應(yīng)用

一、幾個近似計算公式

設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，且充分小時，有

這里：，

故有如下近似公式

                                               (1)

                                 (2)

                                 (3)

(1)、(2)、(3)式在近似計算中的作用：

若，容易計算時，那未

(1)式可用于近似計算函數(shù)在處的增量。

(2)式可用于近似計算函數(shù)在附近的函數(shù)值。

(3)式表明： 只要充分接近，函數(shù)可用線性函數(shù)

來替代。

用(2)、(3)式來作近似計算，關(guān)鍵是選擇點，的選取標(biāo)準(zhǔn)有兩條：

1、、易于計算。

2、 或  盡可能地小。

【例1】有一批半徑為1厘米的球， 為了提高球面光潔度，要鍍上一層銅，厚度定為0.01厘米，試估計每只球需用多少克銅(銅的比重是)?

解：鍍銅前的球半徑為=1 (厘米)

鍍銅后球的半徑的增量為 =0.01 (厘米)

而球的體積公式是 ，， 這里是球的半徑。

鍍銅層的體積為

每只球的需銅量約為 。

【例2】求 的近似值

解：將化為弧度

這里取函數(shù)為 ，，

由近似公式(2)計算函數(shù)  的近似值

注：值的計算可在MATLAB中鍵入表達式

sin(pi/6)+cos(pi/6)*(pi/360)

然后將結(jié)果粘貼到此。

二、幾個工程中常用的近似公式

在(3)式中，取時，形式變?yōu)? (充分小)

利用此式， 可以得到幾個工程中常用的近似計算公式。

這些公式的證明較容易，僅證第(5)式，其余的留給同學(xué)們自行驗證。

取，，

【例3】計算  的近似值。

解：

由近似公式(1)有：

三、微分用于誤差估計

1、誤差估計中的幾個概念

設(shè)某個量的精確值為，它的近似值為，則稱為的絕對誤差。

而比值稱為的相對誤差。

一般說來，某個量的精確值往往是無法知道的，于是絕對誤差和相對誤差就無法求得。因此，在誤差估計中， 常常是確定誤差的范圍。

若 ，則  稱為測量的絕對誤差限；

而比值  稱為測量的相對誤差限。

【例4】測得圓鋼截面的直徑，測量的絕對誤差限為
。若利用公式計算圓鋼的截面積，試估計面積
的誤差限。

解：將測量時所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作自變量的增量，

利用計算時的誤差可看作函數(shù)的對應(yīng)增量，

當(dāng)充分小時，可以用近似代替，

即    

而的絕對誤差限為毫米，即：

從而：

故的絕對誤差限為

的相對誤差限為

2、誤差限的計算公式

仿上例，可給出利用測量值，按公式計算值時，其誤差限的確定公式。

設(shè)測量的誤差限為，即： ，當(dāng)  時，

有        ，

的絕對誤差限為：  

的相對誤差限為：