和柏拉圖同時(shí)代的最杰出的數(shù)學(xué)家，他由于對三門學(xué)科：幾何學(xué)、天文學(xué)和地理學(xué)的貢獻(xiàn)而聞名于世。——F. 拉瑟爾（F. Lasserre）

柏拉圖學(xué)院出現(xiàn)后大半個(gè)世紀(jì)間，希臘數(shù)學(xué)出現(xiàn)了三個(gè)新方向：從平面走向立體；從個(gè)別證明走向系統(tǒng)方法；以及脫離直線與圓的限制，邁向圓錐曲線和高次曲線，乃至超越曲線的探究。

歐多克索斯對這些新發(fā)展做出了革命性貢獻(xiàn)，他建立了嚴(yán)格、普遍與系統(tǒng)的方法，其核心是比例理論與窮竭法，日后成為希臘數(shù)學(xué)乃至天文理論的基礎(chǔ)與典范。此外，他還是利用幾何學(xué)來建構(gòu)天體運(yùn)行模型的第一人。無論在數(shù)學(xué)還是天文學(xué)上，他都是開創(chuàng)新時(shí)代的人物，堪稱為古希臘的牛頓。

歐多克索斯（Eudoxus，公元前408年一前347年）出生于小亞細(xì)亞的尼多斯（Cnidus，今土耳其西南部）一個(gè)世代行醫(yī)的家庭，曾經(jīng)向阿基塔斯學(xué)習(xí)、游歷埃及學(xué)習(xí)天文知識，然后在小亞細(xì)亞北部的基齊庫斯（Cyzicus，今馬爾馬拉海南岸）成立了一個(gè)學(xué)派。公元前368年左右他和他門徒加入柏拉圖學(xué)派。幾年后回到尼多斯并于公元前355年左右死于此地。

1、新比例論（theory of proportion）

越來越多無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)迫使希臘數(shù)學(xué)家不得不研究這些數(shù)。它們確實(shí)是數(shù)嗎？它們出現(xiàn)于幾何論證過程中，而整數(shù)和整數(shù)之比則既出現(xiàn)于幾何也出現(xiàn)于一般的數(shù)量研究中。此外，用于可公度的長度、面積和體積的幾何證明，怎樣才能推廣用之于不可公度的這些量呢？

歐多克索斯引入了變量（或簡稱為量）這個(gè)概念。它不是數(shù)，而是代表諸如線段、角、面積、體積、時(shí)間這些能夠連續(xù)變動的東西。量跟數(shù)不同，數(shù)是從一個(gè)跳到另一個(gè)，例如從4跳到5。對于量是不指定數(shù)值的。然后歐多克索斯定義兩個(gè)量之比并定義比例，把可公度比與不可公度比都包括在內(nèi)。但他仍不用數(shù)表達(dá)這種比。比和比例的概念是同幾何學(xué)分不開的，這在《幾何原本》第五篇時(shí)可以看出來。

（歐多克索斯的比例定義：有四個(gè)量，第一量比第二量與第三量比第四量叫做相同比，如果對第一與第三個(gè)量取任何同倍數(shù)，又對第二與第四個(gè)量取任何同倍數(shù)，而第一與第二倍量之間依次有大于、等于或小于的關(guān)系，那么第三與第四倍量之間便有相應(yīng)的關(guān)系。

現(xiàn)代語言描述：如果A，B，C，D四個(gè)量成比例：A/B=C/D，兩邊分別乘以分?jǐn)?shù) m/n，得到(mA)/(nB)=(mC)/(nD)． 由mA＞nB，立即可以推出mC＞nD；由mA=nB，立即可以推出mC=nD； 由mA＜nB，立即可以推出 mC＜nD。）

歐多克索斯研究過中外比（黃金比例）

歐多克索斯所做的這項(xiàng)工作是為了避免把無理數(shù)當(dāng)作數(shù)。實(shí)際上，他連線段長度、角的大小以及其他的量和量的比，都避免給予數(shù)值。歐多克索斯的這個(gè)理論誠然給不可公度比提供了邏輯依據(jù)，從而使希臘數(shù)學(xué)家大大推進(jìn)了幾何學(xué)，但也產(chǎn)生了一些不幸的后果。

這種后果之一是它硬把數(shù)同幾何截然分開，因?yàn)橹挥袔缀文芴幚聿豢晒缺?。它也把?shù)學(xué)家趕到幾何學(xué)家的隊(duì)伍里去，因?yàn)樵诖撕髢汕觊g幾何學(xué)變成幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。我們?nèi)缃袢园褁2讀作x平方，把x3讀作x立方，而不把它們讀作x二次或x三次，因?yàn)閷οＥD人來說，x2和x3這些量只有幾何意義。

這樣的處理方法實(shí)際上把以前希臘數(shù)學(xué)的重點(diǎn)顛倒過來了，幾何能夠處理無理數(shù)，卻因此放棄了真正的代數(shù)和無理數(shù)。無理數(shù)根的二次方程求解、無理數(shù)邊長的矩形面積這樣的代數(shù)問題都化成了幾何。雖然在邏輯上是成立的，但運(yùn)算顯然不合實(shí)用。

因?yàn)闃O端的重幾何輕代數(shù)，同時(shí)也因?yàn)楣畔ＥD的知識分子只醉心于哲學(xué)和科學(xué)，不關(guān)心商業(yè)、貿(mào)易等實(shí)際問題，也沒有去改進(jìn)算術(shù)方法和代數(shù)方法的壓力。只有當(dāng)有文化的階級和奴隸之間的壁壘在亞歷山大時(shí)期被沖突，而且有教養(yǎng)的人開始研究實(shí)際問題時(shí)，重點(diǎn)才轉(zhuǎn)到數(shù)量知識以及發(fā)展算術(shù)和代數(shù)方面。

2、窮竭法（method of exhaustion）

窮竭法有時(shí)被誤譯為“窮舉法”，是一種求圖形面積的方法，其通過構(gòu)造一個(gè)內(nèi)接多邊形序列，使這些多邊形的面積收斂到所求圖形面積。如果這個(gè)多邊形序列構(gòu)造得當(dāng)，那么其第n項(xiàng)的面積與所求圖形面積之差在n足夠大時(shí)便可以小于任意給定正數(shù)。因?yàn)檫@個(gè)面積差可以任意小，是故該圖形面積的可能值便系統(tǒng)性的被該多邊形序列中的成員的面積所給出的一系列下界“窮竭”掉了。

歐多克索斯原理：設(shè)給定兩個(gè)不相等的量，如果從其中較大的量減去比它的一半大的量，再從所余的量減去比這余量的一半大的量，繼續(xù)重復(fù)這一過程，必有某個(gè)余量將小于給定的較小的量。

此法思想始自公元前5世紀(jì)的安提豐，雖然不很清楚他對此法理解到什么程度。數(shù)十年后，這個(gè)理論由歐多克索斯加以嚴(yán)格化，用以計(jì)算面積和體積。例如，歐多克索斯用窮竭法證明兩圓面積之比等于其半徑平方之比，兩球體積之比等于其半徑立方之比，棱錐體積是同底同高棱柱體積的三分之一，以及圓錐面積是其相應(yīng)的圓柱體積的三分之一。

窮竭法是微積分的第一步，但并沒有用明確的極限理論。而“窮竭法”這個(gè)名稱是由Grégoire de Saint-Vincent于1647年在其著作《求圓與圓錐曲線的面積》(Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni)中首次使用。

3、公理化

因希臘人要尋求真理并決心用演繹證明，就要找出一些其本身便是真理的公理。他們確實(shí)找出了一些他們認(rèn)為真實(shí)性是不言而喻的命題。而歐多克索斯的工作建立了數(shù)學(xué)上以明確公理為依據(jù)的演繹整理，這是由于對無理數(shù)的研究推動的。此后歐幾里得采用公理化方法編著《幾何原本》，建立了沿用至今的科學(xué)范式。

4、天文學(xué)貢獻(xiàn)

a）把球面幾何用于天文研究

歐多克索斯提出一個(gè)以地球?yàn)橹行牡耐那蚶碚?。他認(rèn)為所有恒星共處于半徑最大的一個(gè)球面上，此球每日環(huán)繞通過地心的軸線自東向西旋轉(zhuǎn)一周。其他天體的運(yùn)動，則由多個(gè)同心球的勻速轉(zhuǎn)動結(jié)合而成。太陽、月亮各三個(gè)，五顆行星各四個(gè)，連同恒星的一個(gè)，共計(jì)27個(gè)同心球。這27個(gè)球經(jīng)過適當(dāng)組合以后，就可解釋人們觀測到的天象。同心球模型是建立數(shù)學(xué)化的天文理論的第一次嘗試。

b）對星象的長期不懈的觀測和記錄

《現(xiàn)象》一書中記述了他的觀測結(jié)果：不僅象地圖一樣描述了主要星座的空中位置，而且記載了一些星座在地平線起、落的情況，為改革歷法準(zhǔn)備了必要的資料。歐多克索斯后來曾對此書作過全面修訂，并以《鏡象》為名重新發(fā)表.在此基礎(chǔ)上，他編制了一本新型的天文歷書，即所謂《八年輪迴歷》（Oktaeteris）。這本歷書及其后的一些仿效本，在希臘人居住地域得到廣泛流傳。公元前46年，羅馬凱撒（Caesar）大帝頒布的儒略歷，又把歐多克索斯的歷法思想傳遍歐洲.影響所及，直至現(xiàn)代。

歐多克索斯還精確地測算了行星運(yùn)行的周期，是他對行星的黃道周期和會合周期的測算結(jié)果同現(xiàn)代結(jié)果的對比可見，除去火星的會合周期因某種原因有明顯差錯之外，其余數(shù)據(jù)都和現(xiàn)代結(jié)果相當(dāng)接近。

歐多克索斯是古希臘時(shí)代最大的數(shù)學(xué)家，并且在整個(gè)古代僅次于阿基米德。埃拉托斯特尼（Eratosthenes）說他是“神明似的”人。

下一講亞里士多德與逍遙學(xué)派。