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歐多克索斯 江蘇教育學(xué)院 周煥山 歐多克索斯(Eudoxus) 約公元前400年生于尼多斯(Cnidus，今土耳其西南部)；約公元前347年卒于尼多斯．?dāng)?shù)學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)． 歐多克索斯出生于一個(gè)世代行醫(yī)的家庭，年輕時(shí)就讀于著名的尼多斯醫(yī)科學(xué)校．卒業(yè)后，當(dāng)過醫(yī)生賽奧梅頓(Theomedon)的助手．可能在這個(gè)時(shí)期曾去過意大利和西西里，向阿爾希塔斯(Archytas)學(xué)習(xí)幾何．公元前368年，他隨同賽奧梅頓去雅典作為期兩個(gè)月的訪問．賽奧梅頓在皮雷埃夫斯(Piraeus)為他安排了住所，但是求知渴望驅(qū)使他每天步行十多公里，往返于皮雷埃夫斯和雅典之間，去“學(xué)園”聆聽柏拉圖等大師們的演講．他深受激勵(lì)，增強(qiáng)了研究數(shù)學(xué)、天文學(xué)和哲學(xué)的志趣，并和柏拉圖本人建立了友誼．返回尼多斯之后，他一邊行醫(yī)，一邊研究學(xué)問．約公元前365年，他同另一位醫(yī)生克里西帕斯(Chrysippus)去埃及訪問．這一次，他受斯巴達(dá)國(guó)王的委托向埃及法老遞交一封表示親善的外交書信．他因此得以晉謁法老，并由此得以結(jié)交赫里俄波里斯(Heliopolis，太陽神廟所在地)的一些高僧．由于東道國(guó)的好客和朋友的資助，他在埃及旅居了約十五個(gè)月之久．他在那里觀測(cè)了希臘人看不到的南天星座，以及尼羅河的起落．他虛心地向僧侶們學(xué)習(xí)天文歷算知識(shí)，仔細(xì)研究埃及歷法，并考察了當(dāng)?shù)氐娘L(fēng)土民俗和神話傳說，但他表示不相信占星、算命可以預(yù)知人的一生命運(yùn)． 自埃及返回小亞細(xì)亞以后，歐多克索斯在基齊庫斯(Cyzicus，今馬爾馬拉海南岸)創(chuàng)辦了一所學(xué)校．他在那里培養(yǎng)了許多學(xué)生，聲譽(yù)日隆，還應(yīng)邀訪問了卡里亞(Caria)的君主馬索洛斯(Mau－solus)．他的第一本著作《現(xiàn)象》(Phaenomena)就是在基齊庫斯發(fā)表的． 在公元前360年到前350年之間，歐多克索斯曾帶領(lǐng)一些學(xué)生遷往雅典，和柏拉圖學(xué)園建立了更為密切的聯(lián)系，他們很可能加入了柏拉圖學(xué)園．后來尼多斯發(fā)生重大的政治變革，人民推翻了獨(dú)裁政權(quán)，建立了民主政體．歐多克索斯應(yīng)邀回歸故國(guó)，為尼多斯人起草了必要的法典，并獲得極高的榮譽(yù)．此后他在尼多斯定居下來，繼續(xù)從事教學(xué)和科學(xué)研究，并堅(jiān)持天文觀測(cè)，直至逝世． 歐多克索斯是古希臘時(shí)代成就卓著的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家．他對(duì)數(shù)學(xué)的最大的功績(jī)是創(chuàng)立了關(guān)于比例的一個(gè)新理論．根據(jù)亞里士多德(Aristoteles)著作中的有關(guān)記述和后來評(píng)注家對(duì)歐幾里得(Euclid)《幾何原本》(Elements)的分析，可以斷定《幾何原本》卷Ⅴ和卷Ⅻ主要來自歐多克索斯的工作．畢達(dá)哥拉斯(Pytha-goras)學(xué)派也建立過比例論，但只適用于可公度量．設(shè)A，B兩個(gè)量可公度，A是公度的m倍，B是公度的n倍，那么A∶B=m∶n是一個(gè)數(shù)．這時(shí)，A，B叫做“可比的”．如果兩個(gè)比A∶B與C∶D相等，就構(gòu)成了比例式A∶B=C∶D．最初他們認(rèn)為所有的量都是可公度的，因此任何兩個(gè)量都可比。但后來發(fā)現(xiàn)有些量是不可公度的．比例論的建立就發(fā)生了困難．徹底擺脫這一困難的是歐多克索斯．可惜他的著作已失傳，他的貢獻(xiàn)只能從別人的工作中去了解． 他首先引入“量”的概念，將“量”和“數(shù)”區(qū)別開來．用現(xiàn)代的術(shù)語來說，他的“量”指的是“連續(xù)量”，如長(zhǎng)度、面積、重量等，而“數(shù)”是“離散的”，僅限于有理數(shù)。其次改變“比”的定義：“比”是同類量之間的大小關(guān)系．如果一個(gè)量加大若干倍之后就可以大于另一個(gè)量，則說這兩個(gè)量有一個(gè)“比”．這個(gè)定義含蓄地把零排除在可比量之外；并且它實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于所謂“阿基米德公理”(阿基米德本人將此公理歸功于歐多克索斯．不過在現(xiàn)存文獻(xiàn)中正式作為公理形式提出的，則以阿基米德為最早)． 根據(jù)現(xiàn)代的比例論，如果A，B，C，D四個(gè)量成比例：A/B=C/D，兩邊分別乘以分?jǐn)?shù) m/n，得到(mA)/(nB)=(mC)/(nD)． 由mA＞nB，立即可以推出mC＞nD； 由mA=nB，立即可以推出mC=nD； 由mA＜nB，立即可以推出 mC＜nD． 歐多克索斯比例論的關(guān)鍵，是將這一性質(zhì)作為比例的定義，即 設(shè)有A，B，C，D四個(gè)量，將A與C，B與D分別乘以相同的倍數(shù)，如果 就說兩個(gè)比A∶B與C∶D相等，四個(gè)量可構(gòu)成比例式A∶B=C∶D． 從這一定義出發(fā)，可以推出有關(guān)比例的若干命題，而不必考慮這些量是否可公度．這在希臘數(shù)學(xué)史上是一個(gè)大突破．不難看出，當(dāng)兩個(gè)量a和b不可公度時(shí)，可按 m/n＜a/b或m/n ＞a/b，把全體有理數(shù)劃分成兩個(gè)不相交的集合L和U，使得L的每一元素都小于U的每一元素，并以此定義無理數(shù)a/b．這令人想起了“戴德金分割”．事實(shí)上，19世紀(jì)的無理數(shù)理論是歐多克索斯思想的繼承和發(fā)展．不過歐多克索斯理論是建筑在幾何量的基礎(chǔ)之上的，因而回避了把無理數(shù)作為數(shù)來處理．盡管如此，歐多克索斯的這些定義無疑給不可公度比提供了邏輯基礎(chǔ)．為了防止在處理這些量時(shí)出錯(cuò)，他進(jìn)一步建立了以明確公理為依據(jù)的演繹體系，從而大大推進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展．從他之后，幾何學(xué)成了希臘數(shù)學(xué)的主流． 歐多克索斯對(duì)數(shù)學(xué)的第二個(gè)貢獻(xiàn)是建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母F竭法，并用它證明了一些重要的求積定理．窮竭法起源于安蒂豐(Anti-phon)，后來希波克拉底(Hippocrates)也使用過，但只是到了歐多克索斯手里，窮竭法才真正成為一種合格的幾何方法．窮竭法的邏輯依據(jù)，是歐多克索斯由上述定義4推得的下述結(jié)果：“設(shè)給定兩個(gè)不相等的量，如果從其中較大的量減去比它的一半大的量，再從所余的量減去比這余量的一半大的量，繼續(xù)重復(fù)這一過程，必有某個(gè)余量將小于給定的較小的量”．這個(gè)結(jié)果，現(xiàn)在被稱為歐多克索斯原理．阿基米德曾明確地指出，“棱錐體積是同底同高的棱柱體積的三分之一”和“圓錐體積是同底同高的圓柱體積的三分之一”這兩個(gè)定理是歐多克索斯首先予以證明的．不過前一個(gè)結(jié)論曾先由德謨克利特(Democritus)未加證明地提出過．歐多克索斯的窮竭法可看做是微積分的第一步，但沒有明確地用極限概念，也回避了“無窮小”概念． 此外，歐多克索斯還研究過“中末比”(后人稱黃金分割)和“倍立方”等著名的數(shù)學(xué)問題．根據(jù)歐德莫斯(Eudemus)在《幾何學(xué)史》中的記載，他在研究中末比時(shí)應(yīng)用了分析法．他在這方面的工作痕跡，可用《幾何原本》卷 命題5來說明．命題5是一個(gè)關(guān)于中末比的定理．一些古代手稿表明，命題5原先是根據(jù)比例的一般性質(zhì)用分析法予以證明的．這一證法很可能出自歐多克索斯之手．他在解倍立方問題時(shí)，象阿爾希塔斯一樣，曾應(yīng)用機(jī)械來解幾何問題，為此遭到主張把作圖工具嚴(yán)格限制為直尺和圓規(guī)的柏拉圖的批評(píng)．埃拉托斯特尼(Eratosthenes)曾經(jīng)在一本書中引述過歐多克索斯的解法，可惜的是這段記述失傳了． 歐多克索斯在天文學(xué)方面最有影響的工作，在于把球面幾何用于天文研究，提出一個(gè)以地球?yàn)橹行牡耐那蚶碚摚@種理論起源于早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，而為柏拉圖所繼承．按照柏拉圖的說法，整個(gè)宇宙以及其中的一切天體都是球形的，因?yàn)榍蛐问且磺行螤钪凶钔昝赖模挥谟钪嬷行牡氖堑厍?，宇宙的軸通過地球中心，一切都按從東向西的方向繞軸作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．然而事實(shí)上，行星的運(yùn)動(dòng)速度時(shí)快時(shí)慢，時(shí)而靜止，甚至逆行．對(duì)此，柏拉圖認(rèn)為這只是一種表面現(xiàn)象，可以用勻速圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合來解釋．他在《蒂邁歐》(Timaeus)篇中說，太陽、月亮和五顆行星除了每日象恒星一樣從東向西運(yùn)轉(zhuǎn)一周以外，它們同時(shí)還在和天球赤道平面成一傾角的另一平面內(nèi)做獨(dú)立的圓周運(yùn)動(dòng)，這兩種運(yùn)動(dòng)的合成，就使行星在空間的路線被扭曲成螺旋形了．歐多克索斯發(fā)展了柏拉圖的觀點(diǎn)，在《論速度》(On speeds)一書中提出了自己的同心球理論．他認(rèn)為所有恒星共處于半徑最大的一個(gè)球面上，此球每日環(huán)繞通過地心的軸線自東向西旋轉(zhuǎn)一周．其他天體的運(yùn)動(dòng)，則由多個(gè)同心球的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)合而成．太陽、月亮各三個(gè)，五顆行星各四個(gè)，連同恒星的一個(gè)，共計(jì)27個(gè)同心球．這27個(gè)球經(jīng)過適當(dāng)組合以后，就可解釋人們觀測(cè)到的天象．例如，金星的運(yùn)動(dòng)由這樣四個(gè)同心球確定：第一個(gè)球作類似恒星的運(yùn)動(dòng)，每日一周；第二個(gè)球沿黃道十二宮運(yùn)行，方向和第一球相反，每年一周．第三、四兩個(gè)球用以說明金星速度的變化．它們的周期都等于金星和太陽的會(huì)合周期，即570天，但運(yùn)動(dòng)的方向彼此相反．它們的旋轉(zhuǎn)軸和黃道圈的軸所成角度，系根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)來推算．如果暫不考慮第一、二兩球，僅考慮第三、四兩球運(yùn)動(dòng)的合成，就形成一種球面雙紐線(如圖所示)，形如古代的“馬鐐”，故歐多克索斯稱它為“馬鐐線”．如果結(jié)合第二個(gè)球沿黃道的運(yùn)行，則在圖上D與A之間，金星將沿黃道運(yùn)行，在O點(diǎn)的速度達(dá)最大值，隨啟減速，在AB段近于停滯，B點(diǎn)處速度為0．從B到C，金星發(fā)生逆行，O點(diǎn)處逆速度最大，C點(diǎn)處速度為0．CD段近于停滯，并逐漸恢復(fù)向東運(yùn)行．再加上第一個(gè)球的晝夜運(yùn)行，四個(gè)同心球的結(jié)合，就對(duì)金星的視運(yùn)動(dòng)作出了一種比較接近的解釋．當(dāng)然，同心球理論純粹是一種幾何模型，由于它建立在地心說的錯(cuò)誤假設(shè)上，因而無法與實(shí)際天象真正吻合．不久就有批評(píng)指出，行星亮度的變化說明它到地球的距離也是變化的．但是，歐多克索斯工作的真正意義在于理論方面，他的同心球模型是建立數(shù)學(xué)化的天文理論的第一次嘗試，也是顯示了天才的獨(dú)創(chuàng)性的一次嘗試． 歐多克索斯在天文學(xué)上的另一項(xiàng)引人注目的工作，是對(duì)星象的長(zhǎng)期不懈的觀測(cè)，并在《現(xiàn)象》一書中記述了他的觀測(cè)結(jié)果．書中不僅象地圖一樣描述了主要星座的空中位置，而且記載了一些星座在地平線起、落的情況，為改革歷法準(zhǔn)備了必要的資料．歐多克索斯后來曾對(duì)此書作過全面修訂，并以《鏡象》為名重新發(fā)表．在此基礎(chǔ)上，他編制了一本新型的天文歷書，即所謂《八年輪 歷》(Oktaeteris)．這本歷書及其后的一些仿效本，在希臘人居住地域得到廣泛流傳．公元前46年，羅馬凱撒(Caesar)大帝頒布的儒略歷，又把歐多克索斯的歷法思想傳遍歐洲．影響所及，直至現(xiàn)代． 歐多克索斯還精確地測(cè)算了行星運(yùn)行的周期．下面是他對(duì)行星的黃道周期和會(huì)合周期的測(cè)算結(jié)果同現(xiàn)代結(jié)果的對(duì)比表： 可見，除去火星的會(huì)合周期因某種原因有明顯差錯(cuò)之外，其余數(shù)據(jù)都和現(xiàn)代結(jié)果相當(dāng)接近．這在當(dāng)時(shí)很原始的觀測(cè)條件下是難能可貴的．這類觀測(cè)結(jié)果也為他設(shè)計(jì)同心球幾何模型準(zhǔn)備了所需要的數(shù)據(jù)． 歐多克索斯寫過一部七卷的《地球巡禮》，總結(jié)了他在地理學(xué)方面的考察研究結(jié)果．根據(jù)現(xiàn)存的約一百件殘片，可以推知原著的概貌．歐多克索斯從遙遠(yuǎn)的亞洲說起，系統(tǒng)地記敘了當(dāng)時(shí)希臘人所能知道的世界的每個(gè)部分．并加上政治、歷史、人種等方面的詳情介紹，還利用希臘神話進(jìn)行渲染．書中第二卷寫埃及，第四卷寫包括色雷斯(Thrace)在內(nèi)的愛琴海沿岸地區(qū)，第六卷寫希臘半島及北非，第七卷寫意大利，包括一篇關(guān)于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的習(xí)俗的附記．文筆生動(dòng)，堪與米利都的地理學(xué)家赫卡泰烏斯(Heca－taeus，公元前6—5世紀(jì))的杰作《環(huán)游世界》(Ges periodos)相媲美． 瑞士希臘史家F．拉瑟爾(Lasserre)稱歐多克索斯是“和柏拉圖同時(shí)代的最杰出的數(shù)學(xué)家，他由于對(duì)三門學(xué)科：幾何學(xué)、天文學(xué)和地理學(xué)的貢獻(xiàn)而聞名于世”．他一生的著述很多，除以上三門外，還涉及醫(yī)學(xué)、法律、哲學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，可惜都沒有流傳下來． |
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