關于歐多克索斯生平的記載并不多，他生于小亞細亞西南部的尼多斯城。才開始學習了醫(yī)學和數(shù)學，后來加入雅典的柏拉圖學派，在埃及居住了一年，在赫里奧波里斯學習了天文學，后來移居到基齊庫斯，在那里創(chuàng)建了自己的數(shù)學和天文學學派，讀了許多關于哲學，天文學和氣象學的書籍。大約公元前368年，歐多克索斯和自己的一部分學生返回到雅典，后來在故鄉(xiāng)尼多斯去世。
歐多克索斯最著名的貢獻，是他的比例論，他也是窮竭法的首創(chuàng)者。
他身兼天文學家、物理學家、幾何學家、議員、地理學家，最著名的是他確立了天文學上關于天體運行的第一個理論。而他對于數(shù)學的偉大貢獻，則是確立了關于比例的新理論。
由于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)越來越多，使得希臘人被迫面對它們。當時只有在幾何學的討論中，無理數(shù)才會出現(xiàn)，而正整數(shù)及其比值在幾何學及一般關于量的討論中屢見不鮮，使得人們懷疑無理數(shù)是否為真正的數(shù)？尤其甚者，一些涉及長度、面積、體積為有理數(shù)的證明，要如何拓展到無理數(shù)呢？
歐多克索斯介紹了量的觀念，它并非數(shù)，卻能代表諸如線段、角、面積、體積、時間等等這些能作連續(xù)變化的東西。其次，歐多克索斯定義量的比及比例，這種比例是兩個比的一個等式，可以含蓋可公度量〈相當于有理量〉和不可公度量〈相當于無理量〉之比。然而同樣地，也不使用數(shù)字來表示這種比，比和比例的觀念是緊密地與幾何連在一起。
歐多克索斯的成就在于盡量避免賦予數(shù)值給線段長、角之大小、其他的量以及量的比，而可以回避過無理數(shù)。歐多克索斯這樣的理論，提供無理數(shù)所必需的邏輯基礎，使得希臘數(shù)學家們在幾何方面獲得突破性的進展。不過也因此使得數(shù)目和幾何學分家，因為只有幾何才能處理無理數(shù)。這樣的結果將數(shù)學家局限為幾何學家，使幾何學幾乎成為所有嚴密數(shù)學的基礎達兩百年之久。
除此之外，希臘人利用現(xiàn)在的窮竭法(逼近法)，來計算曲線形或曲面體的面積或體積的念頭，也是由歐多克索斯引起的。借著逼近法，歐多克索斯證明了：兩圓面積之比等于半徑平方之比；球體的體積比等于半徑的立方比；角錐、圓錐體積為同底等高柱體的三分之一。另外我們要注意的是，逼近法乃是微積分的基石，因此也有人說他是微積分的開山祖師。
在數(shù)學中，一個等比關系（proportion）指的是兩個比例（英語：ratio 或 proportionality）的相等關系，記為
比例論（theory of proportion）是研究比例與等比關系的理論。
畢達哥拉斯學派的比例論
畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了不可通約數(shù)（無理數(shù)） √2，這破壞了他們的比例論：
如果兩個物體的比例是相同的，以數(shù)學式來表示，是一個等比關 a:b=c:d。其中，a,b,c,d 是正整數(shù)。而且，存在一個正整數(shù)n 使得a=nc 與 b=nd。
無理數(shù)的存在，表示物體的比例可能無法以正整數(shù)來表示，這破壞了他們以正整數(shù)來描述自然規(guī)律的哲學。
歐多克索斯的比例論
為了挽救比例論，尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論，被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。其中的第五條定義是其比例論的核心：
a:b=c:d 當且僅當?shù)紫氯齻€等式關系成立：
其中 m,n 為正整數(shù)（幾何量的整倍數(shù)）。
這個定義回避了數(shù)系的規(guī)范，因此，即使 a,b,c,d 是無理數(shù)，等比關系也可以成立。
窮竭法 (method of exhaustion)，有時被誤譯為“窮舉法”，是一種求圖形面積的方法，其通過構造一個內接多邊形序列，使這些多邊形的面積收斂到所求圖形面積。如果這個多邊形序列構造得當，那么其第n項的面積與所求圖形面積之差在n足夠大時便可以小于任意給定正數(shù)。因為這個面積差可以任意小，是故該圖形面積的可能值便系統(tǒng)性的被該多邊形序列中的成員的面積所給出的一系列下界“窮竭”掉了。
此法思想始自公元前5世紀的安提豐，雖然不很清楚他對此法理解到什么程度。數(shù)十年后，這個理論由歐多克索斯加以嚴格化，用以計算面積和體積。此法于公元3世紀被中國的劉徽重新發(fā)明，用以計算圓面積。“窮竭法”這個名稱是由Grégoire de Saint-Vincent于1647年在其著作《求圓與圓錐曲線的面積》(Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni)中首次使用。
窮竭法被看作微積分方法的先導。解析幾何與積分學在17世紀至19世紀的發(fā)展涵蓋了窮竭法，所以此法不再被顯式的運用。另一個重要的發(fā)展是Cavalieri原理，亦稱作“不可分量法”，再進一步便引至Roberval, 托里拆利, Wallis, 萊布尼茨等人的無窮小量演算(infinitesimal calculus)，即標準微積分學的前身。
窮竭法在應用時一般須訴諸歸謬法，后者是反證法的一種形式。具體來說就是，為了求某圖形面積，而將其與第二個圖形（該圖形可以作“窮竭”式的變形，而使其面積任意接近所求面積）來作比較。證明過程牽涉到先假定所求面積大于第二圖形的面積，并證明其偽，接下來假定所求面積小于第二圖形的面積，并將其也證偽。
參考資料: 維基百科; http://210.243.8.14
