作圓的內(nèi)接正多邊形，使得相似于，那么很容易證明的面積滿足

又因?yàn)?span>，所以

注意內(nèi)接于圓，于是其面積小于圓的面積，即．又因?yàn)?span>，所以，矛盾．同理可證，當(dāng)時(shí)仍有矛盾，因此，結(jié)論得證．□

之所以說(shuō)這個(gè)定理很重要，是因?yàn)槿绻覀冇泝蓤A的半徑分別為和，那么由 出發(fā)，很容易發(fā)現(xiàn) 即 也是正確的．

這表明圓的面積和其半徑的平方之比總是一個(gè)常數(shù)．我們現(xiàn)在都知道了這個(gè)常數(shù)就是， 這相當(dāng)于證明了圓周率是個(gè)常數(shù)．可不要小看這個(gè)成就． 其實(shí)很少有古代文明能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)．從目前的考古發(fā)現(xiàn)來(lái)看，古埃及人很可能不知道圓周率是個(gè)常數(shù)，因?yàn)樗麄兘?jīng)常這么干：對(duì)于比較大的圓，他們就用邊數(shù)比較多的正多邊形來(lái)代替它，否則就用邊數(shù)比較小的正多邊形，而從來(lái)不考慮圓周率是不是個(gè)常數(shù)．而古代的希臘人和古代的中國(guó)人，卻是很明確地知道這一點(diǎn)的！

嚴(yán)格說(shuō)來(lái)上一節(jié)的定理2和本節(jié)的定理3放在一起 才構(gòu)成了一個(gè)完整的窮竭法證明，它相當(dāng)于間接給出了圓的面積公式．隨后，在《幾何原本》第十二卷中又出現(xiàn)了大量的使用類似方法證明出的幾何命題．

但是，我們之前提到了，歐多克索斯對(duì)窮竭法原理（即定理1）的證明有一個(gè)不大不小漏洞．盡管歐幾里得將這個(gè)證明收錄在了《幾何原本》中，但是他也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這個(gè)漏洞．直到后來(lái)，歐幾里得有一個(gè)學(xué)生叫埃拉托塞，而埃拉托塞又有一個(gè)學(xué)生，這個(gè)年輕人發(fā)現(xiàn)了這個(gè)漏洞，并且將古希臘數(shù)學(xué)推向了高峰，他就是著名的阿基米德．阿基米德發(fā)現(xiàn)歐多克索斯的證明里默認(rèn)了一個(gè)未加證明的事實(shí)，他將其補(bǔ)充為一條公理，也就是著名的阿基米德公理． 不僅如此，他還將窮竭法進(jìn)一步發(fā)揚(yáng)光大．事實(shí)上證明了橢圓的面積公式、拋物線弓形的面積公式、螺旋線所包圍的面積、球的表面積公式、很多旋轉(zhuǎn)體的體積公式，他甚至還研究過(guò)拋物線與等軸雙曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，這相當(dāng)于解一種特殊的三次方程．總而言之，阿基米德已經(jīng)是古希臘世界中最接近微積分的人．

但，也僅止于此．

阿基米德生于希臘移民在意大利建立的城邦敘拉古，在他出生的時(shí)候，古希臘文明已經(jīng)沒(méi)有了往日的輝煌．這時(shí)盛極一時(shí)的亞歷山大大帝帝國(guó)已經(jīng)解體，古希臘文明的中心轉(zhuǎn)移到了埃及的托勒密王朝．而阿基米德所在的敘拉古則夾在新興的南北兩強(qiáng)之間——南邊的是迦太基共和國(guó)，而北邊的則是羅馬共和國(guó)．最終敘拉古王國(guó)被羅馬軍隊(duì)所滅，阿基米德本人也死于羅馬士兵的劍下．又過(guò)了不久，整個(gè)地中海世界都匍匐于羅馬共和國(guó)、以及后來(lái)的羅馬帝國(guó)的治下．羅馬人對(duì)相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)并不是太感興趣，他們更在意那些比較實(shí)用的農(nóng)學(xué)和工程學(xué)．人類歷史上第一次對(duì)于微積分的進(jìn)取至此戛然而止．

這就是歐多克索斯為微積分的發(fā)展所埋下的第二條線索——窮竭法的故事．再后來(lái)，隨著基督教在羅馬帝國(guó)被立為國(guó)教，古希臘的數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)被看作異教徒的邪門歪道而遭到打壓，甚至不少數(shù)學(xué)家遭到攻擊和殘殺．隨著最后一個(gè)古希臘數(shù)學(xué)家希帕提婭被燒死在亞歷山大的城市廣場(chǎng)，古希臘數(shù)學(xué)終于走向了終結(jié)．此后，古希臘的數(shù)學(xué)典籍中的一部分被穆斯林保留并發(fā)展成相對(duì)獨(dú)特的伊斯蘭數(shù)學(xué)；另一部分保留在分裂后的東羅馬帝國(guó)（即拜占庭帝國(guó)），雖然拜占庭人對(duì)于古希臘數(shù)學(xué)依然不感冒，但畢竟這些古希臘語(yǔ)撰寫的資料被原汁原味地保留了下來(lái)．這兩部分古籍資料靜靜地等待了一千年．

一千年后，隨著各種古希臘典籍被重新介紹到意大利，文藝復(fù)興開(kāi)始．歐多克索斯在一千八百多年前埋下的這條線索終于又被人們所了解，等到了十七世紀(jì)，當(dāng)時(shí)的西歐數(shù)學(xué)家終于給歐多克索斯所創(chuàng)立的這種方法正式定名為'窮竭法'．再后來(lái)，英國(guó)人牛頓和德國(guó)人萊布尼茲才分別發(fā)明了微積分．

那么，文藝復(fù)興以后的西歐數(shù)學(xué)家是為了解決什么問(wèn)題才又一次關(guān)注窮竭法呢？這就要說(shuō)到歐多克索斯所埋下的第三條線索．第三條線索與歐多克索斯的另一重身份有關(guān)，他不僅是個(gè)數(shù)學(xué)家，而且更多時(shí)候，他是一個(gè)仰望星空求索無(wú)窮的觀星者！

仰望星空求索無(wú)窮

前面我們介紹歐多克索斯生平的時(shí)候曾經(jīng)聊過(guò)，歐多克索斯曾經(jīng)前往埃及游學(xué)，據(jù)說(shuō)長(zhǎng)達(dá)一年以上．在埃及游學(xué)的時(shí)間里，他學(xué)習(xí)了天文學(xué)和歷法的相關(guān)知識(shí)．后來(lái)他曾經(jīng)一度接手雅典學(xué)園．但當(dāng)他得知家鄉(xiāng)尼多斯的人民驅(qū)逐了暴君建立起新的政權(quán)，他就欣然返回家鄉(xiāng)，一面繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)和研究，一面承擔(dān)起另一項(xiàng)工作，那就是：為家鄉(xiāng)編制歷法．為此他開(kāi)始了長(zhǎng)時(shí)間堅(jiān)持不懈的觀星，直到去世．

在觀測(cè)星空的過(guò)程中，他發(fā)現(xiàn)，雖然粗略來(lái)說(shuō)所有的日月星辰都大體上是東升西落的，但是在地面上觀測(cè)到的實(shí)際軌跡卻遠(yuǎn)不是這么簡(jiǎn)單，它們時(shí)而加速時(shí)而減速，時(shí)而前進(jìn)時(shí)而后退．為了研究清楚日月星辰的實(shí)際軌跡，歐多克索斯設(shè)計(jì)了一套數(shù)學(xué)模型．這個(gè)模型簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)是這樣的：

• 地球是宇宙的中心；

• 對(duì)于某個(gè)天體，在地球之外有若干個(gè)假想中的球與的運(yùn)行軌跡有關(guān)；

• 這些球都是地球的同心球，按與地球的距離，由近及遠(yuǎn)分別記作第一球、第二球......

• 天體落在第一球上，第一球自東向西帶著天體繞著第一球的某個(gè)直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，我們不妨稱這個(gè)直徑是的第一軸；

• 但是，的運(yùn)行如果不是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么就需要第二球上場(chǎng)了；

• 將的第一軸的兩端延長(zhǎng)，使之與第二球相交，這樣就把第一軸'粘'在了第二球上；

• 第二球也在繞著它的某個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，這是第二軸，這樣就會(huì)帶動(dòng)第一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，間接地帶動(dòng)第一球轉(zhuǎn)動(dòng)；

• 于是天體實(shí)際上參與了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是繞第一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，二是隨著第一球繞第二軸轉(zhuǎn)動(dòng)；

• 如果還是與觀測(cè)結(jié)果不符，就來(lái)第三個(gè)球......

沒(méi)錯(cuò)，這就是后來(lái)的'地心說(shuō)'理論的雛形．

關(guān)于地心說(shuō)，我覺(jué)得有必要給它正名！首先，地心說(shuō)本身并不反科學(xué)，它只是這一種對(duì)一類廣泛存在的天文學(xué)問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型而已，一如我們今天對(duì)各種科學(xué)問(wèn)題所建立的數(shù)學(xué)模型一樣；其次，'是否以地球?yàn)槊枋鲞\(yùn)動(dòng)的參照點(diǎn)'，這不是一個(gè)需要以對(duì)錯(cuò)來(lái)論處的事情，運(yùn)動(dòng)本來(lái)就是相對(duì)的，即使是日后的'日心說(shuō)'也不見(jiàn)得就是對(duì)的；第三，也是最重要的，'地心說(shuō)'理論最核心、也是最重要的部分，恰恰不是后人糾結(jié)的'以誰(shuí)為中心'，而是這樣一套數(shù)學(xué)模型本身的精妙．

那么，我們后來(lái)在歷史課上學(xué)到的'哥白尼的日心說(shuō)取代地心說(shuō)'又是怎么回事呢？關(guān)鍵在于，羅馬教廷掌權(quán)了以后，對(duì)地心說(shuō)進(jìn)行'閹割'，畢竟這是屬于'異教徒'的東西，然后把有利于羅馬天主教的東西保留了下來(lái)．這樣，他們就把科學(xué)包裝成了迷信！

可嘆的是，今天又有多少人還是在這樣做呢？

當(dāng)然，歐多克索斯這個(gè)模型還不是真正的'地心說(shuō)'，我們不妨稱其為'同心球模型'吧．事實(shí)表明，同心球模型的效果其實(shí)是很差的．其一，是因?yàn)闅W多克索斯時(shí)代所掌握的天文學(xué)觀測(cè)資料比較少，第二，則是因?yàn)橥那蚰Ｐ蛯?shí)在是過(guò)于復(fù)雜，必須要求極高的數(shù)學(xué)水平才能駕馭；第三，這個(gè)數(shù)學(xué)模型無(wú)法從物理意義上給出天體運(yùn)動(dòng)的解釋，比如，這些球是在什么力量的作用下才得以旋轉(zhuǎn)的？最后，歐多克索斯實(shí)際上缺少相關(guān)工具，比如后來(lái)在天文測(cè)算中廣泛使用的球面三角，再比如圓周率的精確值（當(dāng)時(shí)的古希臘人只是知道圓周率是個(gè)常數(shù)，但是對(duì)其精確值的掌握卻并不到位）．

在歐多克索斯之后，出現(xiàn)了一種革命性的理論，即'本輪和均輪'．在這套理論中，地球仍然是宇宙的中心，對(duì)于一個(gè)圍繞地球運(yùn)動(dòng)的天體來(lái)說(shuō)，先假想它繞一個(gè)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再假想繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．繞作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓就是本輪，而繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓就是均輪．這已經(jīng)和實(shí)際情況很接近了，因?yàn)樵诤芏嗲闆r下，其實(shí)就是太陽(yáng)！

隨后，我們將見(jiàn)到'地心說(shuō)'真正的集大成者托勒密．

托勒密是一個(gè)生于埃及的古希臘人，他以及他的前輩西帕恰斯使用埃及人和巴比倫人的觀測(cè)數(shù)據(jù)，以及他們自己的觀測(cè)數(shù)據(jù)，精心地設(shè)計(jì)了本輪和均輪，并進(jìn)一步細(xì)化和改進(jìn)了這一套理論．最終，形成了一整套有關(guān)天體運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型，并寫入著作《天文學(xué)大成》中．

但不幸的是，慘遭羅馬教廷閹割的正是托勒密的這套體系．

關(guān)于觀星者歐多克索斯留下的三條線索，第一條線索'比例論'埋得最深，起作用也最晚，一直要到近代人們才能找到能完美刻畫實(shí)數(shù)的理論體系；而第二條線索'窮竭法'和第三條線索'地心說(shuō)'則更早起作用．一定程度上講，對(duì)文藝復(fù)興以后的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家們來(lái)說(shuō)，他們正是使用'窮竭法'作武器，在與教廷版'地心說(shuō)'作斗爭(zhēng)的過(guò)程中，逐步摸索到近代微積分的大門的．

當(dāng)然，牛頓說(shuō)過(guò)：'如果我有一些成就，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏希?那么，是哪些巨人將牛頓和萊布尼茲扛到了微積分這座數(shù)學(xué)大廈的門前呢？請(qǐng)看下一章《前奏：巨人的肩膀》！