【原】如何不被“套路”？回歸問題本源

妍小青 2023-11-22 發(fā)布于上海

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在遇到各種各樣的壓軸題時，不少同學(xué)本能的反應(yīng)就是“套模型”，沒有仔細(xì)分析圖形的特征和已知、求證間的關(guān)系，因此導(dǎo)致“簡單問題復(fù)雜化”，或者是無法尋求最終的正確答案。

其實，模型只是從大量相同背景的問題中總結(jié)出來的，但有時也會有局限性，只有分析清楚了圖形的特點，發(fā)現(xiàn)已知和求證間的橋梁，才能合理添加輔助線，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)是否與總結(jié)出的模型相關(guān)聯(lián)，讓模型為解題“服務(wù)”，而不是讓解題被“模型”牽著鼻子走。

利用相似還是一線三直角？

如上圖所示這是一道求線段比值的問題，有以下幾種典型的錯誤做法：

圖1中學(xué)生意圖構(gòu)造一線三直角進(jìn)行求解，但是添的兩條垂線破壞了BD:CD的數(shù)量關(guān)系，因此無法求解；圖2中的學(xué)生意圖利用三角比求解DE:EF，但還是沒有結(jié)果；圖3中學(xué)生誤看了條件，以為AD⊥BC，因此認(rèn)為△ADE∽△CDF，從而導(dǎo)致疏漏。

因此對于本題，正確的解題思路應(yīng)該是這樣的：根據(jù)題意，通過過點D向AB和AC作垂線，構(gòu)造了相似三角形，此時DE:DF轉(zhuǎn)化為所作的兩條垂線的比，利用比例線段或銳角三角比，可以用含a或b的代數(shù)式表示DE:DF的值。

當(dāng)然也有同學(xué)利用“四點共圓”實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，也是不錯的解法：

在實際教學(xué)的過程中，對于這樣的一道題其實可以簡化難度，以題組的形式呈現(xiàn)，這對于最后添垂線構(gòu)造相似起到鋪墊的作用：

進(jìn)而根據(jù)以上題組的鋪設(shè)導(dǎo)出“對角互補(bǔ)”模型，最后再總結(jié)出一般規(guī)律：

計算量怎么會這么大？

本題的第1問是求∠ADB的正切值，有同學(xué)觀察到了∠BAC=∠BED=90°，因此過點C作了AD的垂線，但是如此計算量比較大，并且要找的數(shù)量關(guān)系也比較多，故而造成了計算錯誤或者半途而廢，對于第2問也是這樣的思路。

與本題相仿的同類問題如下題所示：本題容易聯(lián)想過點P作CB的垂線，但是此時中點的條件沒有有效的利用，結(jié)合∠ACP=90°，因此做垂線是PQ⊥CP，同時可知PQ是△ACB的中位線，結(jié)合∠BCP的正切值為1/3，從而可以標(biāo)出圖中所有線段的長度，繼而求出∠A的正弦值。

發(fā)現(xiàn)圖形特點尋求最優(yōu)解

在實際考試中，為了更好地解決問題，往往需要尋求最優(yōu)解，這里舉了兩個例子進(jìn)行說明：

01 對于翻折問題，構(gòu)造等腰三角形

02 對于特殊三角形背景，巧解三角形

03 線段間的比例問題，巧構(gòu)相似三角形

因此在實際問題中，解題路徑有很多，我們需要充分分析圖形的特點，運用常見的方法進(jìn)行解決，當(dāng)遇到卡殼無法破解時，需要調(diào)轉(zhuǎn)方向，尋找新的路徑予以解決。這樣才能做到以“不變應(yīng)萬變”，其次對于錯誤的問題需要反思和總結(jié)，這樣才能發(fā)現(xiàn)問題，避免類似錯誤再次呈現(xiàn)。